一、计算题 ($6 imes 5'=30'$)
1. $dps{vlm{n} sex{frac{1}{2n^2+1}+frac{2}{2n^2+2}+cdots+frac{n}{2n^2+n}}}$.
2. $dps{lim_{y o 0}int_y^{frac{pi}{2}+y}frac{cos x d x}{1+sin x+y^2}}$.
3. $dps{lim_{y o 0}frac{dps{int_0^{x^2}sin^frac{3}{2}t d t}}{dps{int_0^x t(t-sin t) d t}}}$.
4. 设 $dps{Phi(x)=int_x^{x^2} frac{sin xy}{y} d y (x>0)}$, 求 $Phi'(x)$.
5. $dps{iint_D (x+y)cos(x-y) d x d y}$, 其中 $$ex D=sed{(x,y);0leq x+yleq pi, 0leq x-yleq frac{pi}{2}}. eex$$
二、解答题 ($3 imes 10'=30'$)
1. 设 $f_n(x)=n^al xe^{-nx} (n=1,2,cdots)$, 试问 $al$ 为何值时, $sed{f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上收敛? 当 $al$ 为何值时, $sed{f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
2. 求幂级数 $dps{vsm{n} frac{x^{n+1}}{2^ncdot n}}$ 的收敛域与和函数.
3. 已知 $C$ 为平面上任一简单闭曲线, 试问常数 $a$ 等于何值时, 曲线积分 $$ex I=oint_C frac{x d x-ay d y}{x^2+y^2}-0, eex$$ 并说明理由.
三、证明题 ($6 imes 15'=90'$)
1. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上来内连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0$, $f'(x)>0 (xin (0,1))$. 证明: 存在 $xi,etain (0,1)$, 使得 $xi+eta=1$ 并且 $$ex frac{f'(xi)}{xi}=frac{f'(eta)}{eta}. eex$$
2. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 值域含于 $(0,1)$ 中, 且该函数的导数不取 $1$. 证明: 方程 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 内有唯一的实根.
3. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, $f(0)=0$, 且当 $xin (0,1)$ 时, $0<f'(x)<1$. 证明: $$ex int_0^1 f^3(x) d x<sez{int_0^1 f(x) d x}^2. eex$$
4. 设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+cdots+a_n (n=1,2,cdots)$, 且 $dps{vsm{n} a_n}$ 发散. 证明: (1) $dps{vsm{n}frac{a_n}{S_n}}$ 发散; (2) $dps{vsm{n}frac{a_n}{S_n^2}}$ 收敛.
5. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明: $$ex int_0^1 d xint_x^1 d yint_x^y f(x)f(y)f(z) d z=frac{1}{6}sez{int_0^1 f(t) d t}^3. eex$$
6. 设 $f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}phi(x,y)$, 其中 $phi(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 证明: $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的充要条件是 $phi(0,0)=0$.