设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $dps{f(1)=3int_0^{1/3} e^{x-1}f(x) d x}$, 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f(xi)+f'(xi)=0$.
证明: 取 $F(x)=e^xf(x)$, 则由中值定理, $$ex exists etain (0,1/3),st F(1)=ef(1)=3int_0^{1/3}e^xf(x) d x=eta f(eta)=F(eta). eex$$ 再由 Rolle 定理, $$ex exists xiin (0,eta)subset (0,1),st 0=F'(xi)=e^xi[f(xi)+f'(xi)]. eex$$