(from Longji Zhong) 设 $f$ 在 $(0,infty)$ 上一致连续, 且对 $forall h>0$, $dps{vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $dps{vlm{x}f(x)}$ 存在.
证明: 由 $f$ 一致连续知 $$ex forall ve>0, exists delta>0, 0<x,x'<infty, |x-x'|< delta a |f(x)-f(x')|<cfrac{ve}{2}. eex$$ 又由 $dps{vlm{n}f(ndelta)equiv A}$ 存在知对上述 $ve>0$, $$ex exists N, ngeq N a |f(ndelta)-A|<cfrac{ve}{2}. eex$$ 于是对 $forall xgeq Ndelta$, $$ex exists ngeq N,st ndeltaleq x<(n+1)delta a 0leq x-ndelta<delta. eex$$ 我们有 $$eex ea |f(x)-A| &=|f(x)-f(ndelta)|+|f(ndelta)-A|\ &<cfrac{ve}{2}+cfrac{ve}{2}\ &=ve. eea eeex$$
注记: 写完后感觉有点问题. 毕竟这个 $A=A(delta)=A(delta(ve))$, 与 $ve$ 有关. 所以你要在这个证明前面思考: 极限$dps{vlm{n}f(nh)}$ 是否不依赖于 $h$ 的选取. 你能证明么?