(来自质数) 设$ A,B $ 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 $AB=BA$. 证明：对于任意实数 $x,y,z$,有 $$ 4xzdet(xA^2+yAB+zB^2)geq (4xz-y^2)(xdet(A)-zdet(B))^2 $$
证明: (来自 torsor) 因为 $A,B$ 可交换, 所以在复数域上它们可以同时上角化. 这一结论可以参考复旦高代教材第六章总复习题18, 注意 $A,B$ 的特征值一般是复数, 所以这一结论一般来说只能在复数域上成立. 设 $P$ 为二阶可逆复方阵, 使得 $$P^{-1}AP=egin{bmatrix} lambda_1 & * \ 0 & lambda_2 end{bmatrix},\, P^{-1}BP=egin{bmatrix} mu_1 & * \ 0 & mu_2 end{bmatrix}. cdotscdots (1)$$ 在要证明不等式的左边左乘 $|P^{-1}|$, 右乘 $|P|$, 利用 (1) 式可将要证的不等式化为以下不等式: $$4xz(lambda_1^2x+lambda_1mu_1y+mu_1^2z)(lambda_2^2x+lambda_2mu_2y+mu_2^2z) geq (4xz-y^2)(lambda_1lambda_2x-mu_1mu_2z)^2. cdotscdots (2)$$ 将 (2) 式的左边减去右边, 并进行化简可得: $$mathrm{LHS}-mathrm{RHS}=Big(2xz(lambda_1mu_2+lambda_2mu_1)+y(|A|x+|B|z)Big)^2. cdotscdots (3)$$ 现在只要说明 $lambda_1mu_2+lambda_2mu_1$ 是实数, 即可得到 (3) 式对任意的实数 $x,y,z$ 都是非负的, 从而证明了不等式 (2) 以及原来的不等式. 注意到 $$mathrm{tr}(AB)=mathrm{tr}(P^{-1}ABP)=mathrm{tr}Big((P^{-1}AP)(P^{-1}BP)Big)=lambda_1mu_1+lambda_2mu_2,$$ 又 $$mathrm{tr}(A)=lambda_1+lambda_2,\,mathrm{tr}(B)=mu_1+mu_2,$$ 因此 $lambda_1mu_2+lambda_2mu_1=mathrm{tr}(A)mathrm{tr}(B)-mathrm{tr}(AB)$ 是实数.