已知函数 $f(x)=ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.
证明: 由 $$ex ln x=ax,quad g(x)equiv cfrac{ln x}{x}=a eex$$ 有两根及 $$ex g'(x)=cfrac{1-ln x}{x^2}sedd{a{ll} >0,&0<x<e\ <0,&x>e ea} eex$$ $$ex lim_{x o0}g(x)=-infty,quad g(e)=cfrac{1}{e},quad lim_{x o +infty} g(x)=0 eex$$ 知 $0<a<cfrac{1}{e}$. 不妨设 $0<x_1<e<x_2<infty$. 另外, 由 $$eex ea g(x_2)&=g(x_1)=g(e)+int_e^{x_1} cfrac{1-ln t}{t^2} d t\ &=g(e)+int_e^{cfrac{e^2}{x_1}} cfrac{ln s-1}{cfrac{e^4}{s^2}}cdot cfrac{e^2}{-s^2} d squadsex{t=cfrac{e^2}{s}}\ &=g(e)+int_e^{cfrac{e^2}{x_1}} cfrac{1-ln s}{e^2} d s\ &<g(e)+int_e^{cfrac{e^2}{x_1}}cfrac{1-ln s}{s^2} d s\ &=gsex{cfrac{e^2}{x_1}} eea eeex$$ 及 $g$ 在 $(e,infty)$ 上的严格递减性知 $x_2>cfrac{e^2}{x_1}$.