3. 函数在 $infty$ 的留数
(1) 定义: 设 $infty$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称 $$ex cfrac{1}{2pi i}int_{vGa^-}f(z) d zquad (vGa: |z|= ho) eex$$ 为 $f$ 在 $infty$ 的留数, 记作 $dps{underset{z=infty}{Res}f(z)}$.
(2) 若 $f$ 在 $r<|z|<infty$ 内有 Laurent 展式 $$ex f(z)=cdots+cfrac{c_{-n}}{z^n}+cdots+cfrac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1z+cdots +c_nz^n+cdots, eex$$ 则 $dps{underset{z=infty}{Res}f(z)=-c_{-1}}$.
(3) 计算
a. 用 Cauchy 留数定理: $$ex underset{z=infty}{Res}f(z) =-sum_{k=1}^n underset{z=a_k}{Res}f(z). eex$$
b. 转换为在零点的留数: $$eex ea underset{z=infty}{Res}f(z) &=cfrac{1}{2pi i}int_{vGa^-}f(z) d z\ &=cfrac{1}{2pi i}int_{sev{zeta}=cfrac{1}{ ho}} fsex{cfrac{1}{zeta}}sex{-cfrac{1}{zeta^2}} d zetaquad sex{zeta=cfrac{1}{z}: z= ho e^{i t} a zeta=cfrac{1}{ ho} e^{-i t}}\ &=cfrac{1}{2pi i}int_{|zeta|=cfrac{1}{ ho}} fsex{cfrac{1}{zeta}}sex{-cfrac{1}{zeta^2}} d zeta\ &=underset{zeta=0}{Res}sez{fsex{cfrac{1}{zeta}}sex{-cfrac{1}{zeta^2}}}. eea eeex$$
(4) 例: 求 $dps{I=int_{|z|=4}cfrac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^3} d z}$.
6. 2 用留数计算实积分
1. $dps{I=int_0^{2pi}R(cos t,sin t) d t}$ 型 ($R$: 有理函数).
(1) 数分: 用万能代换 $ an cfrac{ t}{2}=x a sin t=cfrac{2x}{1+x^2}, cos t=cfrac{1-x^2}{1+x^2}, d t=cdots$.
(2) 复变: $z=e^{i t} a cos t=cfrac{z+z^{-1}}{2}, sin t=cfrac{z-z^{-1}}{2i}, d t=cfrac{ d z}{iz}$, 而 $$ex I=int_{|z|=1}Rsex{cfrac{z+z^{-1}}{2},cfrac{z-z^{-1}}{2i}}cfrac{ d z}{iz}. eex$$
(3) 例: 求 $dps{I=int_0^{2pi}cfrac{ d t}{1-2pcos t+p^2}}$, ($p eq 0$, $p eq pm 1$).
作业: P 262-263 T 1 (1) (3) , T 4 (1) .