0. 引言---回忆
(1) Cauchy 积分公式 (第三章) $$eex ea fmbox{ 在 }Dmbox{ 内解析}, mbox{ 在 }ar D=D+p Dmbox{ 上连续}& a int_C cfrac{f(z)}{z-a} d z=2pi if(a),quad ain D\ & a int_C cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} d z=cfrac{2pi i}{n!}f^{(n)}(a),quad ain D eea eeex$$
(2) Laurent 定理 $$ex fmbox{ 以 }ambox{ 为孤立奇点} a f(z)=sum_{n=-infty}^{+infty} c_n(z-a)^n, eex$$ 其中 $$ex c_n=cfrac{1}{2pi i}int_{|z-a|= ho}cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} d z, eex$$ 特别地, 当 $n=1$ 时, $$ex c_{-1}=cfrac{1}{2pi i}int_{|z-a|= ho}f(z) d z. eex$$
(3) 它们都可用来计算周线积分, 比如 $dps{I=int_{|z|=1}cfrac{sin z}{z^2} d z}$:
a. $$ex I=cfrac{2pi i}{1!}(sin z)'|_{z=0}=2pi i. eex$$
b. $$eex ea &quadcfrac{sin z}{z^2}=cfrac{1}{z^2}sex{z-cfrac{z^3}{3!}+cdots} =cfrac{1}{z}-cfrac{z}{3!}+cdots\ & a I=2pi icdot c_{-1}=2pi i. eea eeex$$ 但 Cauchy 积分定理只能计算复函数在周线内仅有一个极点的情形.
1. 留数
(1) 定义: 设 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称积分 $$ex cfrac{1}{2pi i}int_{|z-a|= ho}f(z) d z eex$$ 为 $f$ 在 $a$ 的留数, 记作 $underset{z=a}{Res}f(z)$.
(2) $underset{z=a}{Res}f(z)=c_{-1}$.
(3) Cauchy 留数定理: $$ex (mbox{大范围积分}) int_Cf(z) d z=2pi isum_{k=1}^n underset{z=a_k}{Res}f(z). eex$$
2. 计算
(1) 设 $a$ 为 $f$ 的 $n$ 阶极点, 即 $$ex f(z)=cfrac{phi(z)}{(z-a)^n},quad phi(a) eq 0, eex$$ 则 $$ex underset{z=a}{Res}f(z) =cfrac{phi^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}. eex$$
(2) 设 $a$ 为 $f$ 的一阶极点, $phi(z)=(z-a)f(z)$, 则 $$ex underset{z=a}{Res}f(z)=phi(a). eex$$
(3) 设 $a$ 为 $f$ 的二阶极点, $phi(z)=(z-a)^2f(z)$, 则 $$ex underset{z=a}{Res}f(z)=phi'(a). eex$$
(4) 设 $a$ 为 $f=cfrac{phi}{psi}$ 的一阶极点 ($phi(a) eq 0, psi(a)=0, psi'(a) eq 0$), 则 $$ex underset{z=a}{Res}f(z)=cfrac{phi(a)}{psi'(a)}. eex$$
(5) 例
a. $dps{int_{|z|=2}cfrac{5z-2}{z(z-1)^2} d z}$.
b. $dps{int_{|z|=n} an pi z d z (ninbZ^+)}$.
c. $dps{int_{|z|=1}cfrac{cos z}{z^3} d z}$.
d. $dps{int_{|z|=1} e^frac{1}{z^2} d z}$.
e. $dps{underset{z=1}{Res} e^{frac{1}{z-1}},quad underset{z=1}{Res}cfrac{z^{2n}}{(z-1)^n},quad underset{z=1}{Res}cfrac{e^z}{z^2-1},quad underset{z=-1}{Res}cfrac{e^z}{z^2-1}}$.
作业: P 262 T 1 (1) (2) (3) .