题目. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: [ sev{intlimits_a^bcos f(x) d x}leq frac{2}{f'(b)}. ]
证明: 由换元法及积分第二中值定理, $$eex ea int_a^b cos f(x) d x &=int_{f(a)}^{f(b)} frac{cos y d y}{f'(f^{-1}(y))}\ &=frac{1}{f'(a)}int_{f(a)}^xicos y d y +frac{1}{f'(b)}int_xi^{f(b)}cos y d y\ &=frac{sinxi -sin f(a)}{f'(a)} +frac{sin f(b)-sin xi}{f'(b)}\ &equiv I_1+I_2. eea eeex$$ 若 $I_1cdot I_2geq 0$, 则 $$ex sev{int_a^b cos f(x) d x} leq frac{sev{sin f(a)-sin f(b)}}{f'(b)} leqfrac{2}{f'(b)}; eex$$ 若 $I_1cdot I_2<0$, 则 $$ex sev{int_a^b cos f(x) d x} leq maxsed{frac{sev{sin xi-sin f(a)}}{f'(a)},frac{sev{sin f(b)-sin xi}}{f'(b)}} leqfrac{2}{f'(b)}. eex$$