1. 幂级数
(1) 定义: $dps{sum_{n=0}^infty c_n(zeta-a)^n}$ $ o$ $dps{sum_{n=0}^infty c_nz^n (z=zeta-a)}$.
(2) Abel 定理: $$ex a{rl} dps{sum_{n=0}^infty c_nz^nmbox{ 在 }z_1( eq 0)mbox{ 处收敛}}& a dps{sum_{n=0}^infty c_nz^nmbox{ 在 }|z|<|z_1|mbox{ 内绝对、内闭一致收敛};}\ dps{sum_{n=0}^infty c_nz^nmbox{ 在 }z_2( eq 0)mbox{ 处发散}}& adps{ sum_{n=0}^infty c_nz^nmbox{ 在 }|z|>|z_2|mbox{ 处发散}.} ea eex$$ 证明: $$ex c_nz^n=c_nz_1^ncdotsex{cfrac{z}{z_1}}^n. eex$$
(3) 收敛半径: $$ex R=supsed{|z|; sum_{n=0}^infty c_nz^nmbox{ 在 }zmbox{ 处收敛}}. eex$$ 如此, $dps{sum_{n=0}^infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内绝对、内闭一致收敛; 在 $|z|>R$ 内发散.
a. $R$ 的求法 $$ex R=vlm{n}sev{cfrac{c_n}{c_{n+1}}},quad R=cfrac{1}{dps{vls{n}sqrt[n]{|c_n|}}}. eex$$
b. 例: 求 $dps{sum_{n=1}^infty cfrac{z^n}{n^2}, sum_{n=0}^infty cos(in)(z-1)^n, sum_{n=0}^infty n!z^n}$ 的收敛半径.
c. 例: 判断级数 $dps{sum_{n=0}^infty (5+12i)^n}$ 的敛散性.
2. 和函数
(1) 性质
a. $dps{f(z)=sum_{n=0}^infty c_nz^n}$ 在 $|z|<R$ 内解析.
b. $f(z)$ 可逐项求导, 并由此得到 $dps{c_p=cfrac{f^{(p)}(0) }{p!}, p=0,1,2,cdots}$.
(2) 计算
a. 例: 求 $dps{sum_{n=0}^infty n^2z^n}$, $dps{sum_{n=0}^infty n^3z^n}$, $dps{sum_{n=0}^infty cfrac{z^n}{n}}$, $dps{sum_{n=0}^infty cfrac{z^n}{n^2}}$ 的收敛半径及和函数.
解: 逐项求导或逐项求积. 注意到 $$ex n^2=n(n-1)+n,quad n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n,mbox{ 等等}. eex$$ 最后一个算不出来 (或者不能用初等函数表示之). 但这说明了一个问题:幂级数虽然可以在收敛圆周上处处收敛, 但和函数却一定在收敛圆周上有一个奇点!
作业: P 174 T 1 (3) , T 2 (2) .