0. 引言
设 $f=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $$ex u_x=v_y, u_y=-v_x a sedd{a{ll} u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0\ v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0 ea}. eex$$
1. 称满足 $lap f=f_{xx}+f_{yy}=0$ 的二阶连续可微函数 $f$ 称为调和函数, 其中 $dps{lap=cfrac{p^2}{p x^2}+cfrac{p^2}{p y^2}}$ 为 Laplace 算子.
2. 若在区域 $D$ 内, $$ex sedd{a{ll} u_x=v_y\ u_y=-v_x ea},quad sedd{a{ll} lap u=0\ lap v=0 ea}, eex$$ 则称 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数.
(1) 解析函数 $f=u+iv$ 中, $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数, 那 ( ) 是 $v$ 的共轭调和函数. (答案: $-u$)
(2) 反过来, $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数, 则 $f=u+iv$ 是解析函数. 于是我们有解析函数的四个等价定义: $$ex a{rrcll} &&vmbox{ 是 }umbox{ 的共轭调和函数}&&\ &&Updownarrow&&\ serd{a{rr} u,vmbox{ 可微}\ C.Rmbox{ 方程} ea}&lra& f=u+ivmbox{ 解析}&lra& sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 连续}\ C.Rmbox{ 方程} ea}\ &&Updownarrow&&\ &&dps{forallmbox{ 周线 }C, int_Cf(zeta) d zeta=0}&& ea eex$$
3. 进一步地, 给定一个调和函数 $u$, 可以求出所以以 $u$ 为实部的解析函数 $f=u+iv$; 给定一个调和函数 $v$, 可以求出所以以 $v$ 为虚部的解析函数 $f=u+iv$. 证明: 比如求 $v$ ($v_x=-u_y, v_y=u_x)$: $$eex ea &quad v_x=-u_y\ & a v=-int u_y d x+varphi(y)\ & a u_x=v_y=-int u_{yy} d x+varphi'(y)\ & a varphi'(y)=u_x+int u_{yy} d x\ & a varphi(y)=cdotsquadsex{cfrac{p}{p y}sez{u_x+int u_{yy} d x}=u_{xx}+u_{yy}=0}. eea eeex$$
(1) 例: 验证 $u=x^3-3xy^2$ 为 $bC$ 上的解析函数, 并求以 $u(x,y)$ 为实部的解析函数 $f(z)=u+iv$, 使其满足 $f(0) =i$.
解答: $$eex ea &quad v_x=-u_y=6xy\ & a v=3x^2y+varphi(y)\ & a 3x^2-3y^2=u_x=v_y=3x^2+varphi'(y)\ & a varphi'(y)=-3y^2\ & a varphi(y)=-y^3+C\ & a v=3x^2y-y^3+C\ & a f=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3+C)\ & a f=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3+1)quad(f(0) =i)\ & a f=z^3+Cquad(f=u(z,0)+iv(z,0)). eea eeex$$
作业: P 141 T 16 (1) .