若
(1) 既约分数 $cfrac{n}{m}$ 满足 $0<cfrac{n}{m}<1$;
(2) 分数 $cfrac{n}{m}$ 可以化为小数部分的一个循环节有 $k$ 位数字的纯循环小数, 则 $m$ 除 $10^k$ 的余数为 $1$.
证明: 由 (2), $$eex ea cfrac{n}{m}&=0.a_1cdots a_ka_1cdots a_kcdots\ &=cfrac{a_1}{10}+cdots+cfrac{a_k}{10^k} +cfrac{a_1}{10^{k+1}}+cdots+cfrac{a_k}{10^{2k}}+cdots\ &=sex{cfrac{a_1}{10}+cdots+cfrac{a_k}{10^k}}cdotsex{1+cfrac{1}{10}+cdots}\ &=sex{cfrac{a_1}{10}+cdots+cfrac{a_k}{10^k}}cdot cfrac{1}{1-cfrac{1}{10^k}}\ &=sex{cfrac{a_1}{10}+cdots+cfrac{a_k}{10^k}}cdotcfrac{10^k}{10^k-1}\ &=cfrac{a_1cdot 10^{k-1}+cdots+a_k}{10^k-1}. eea eeex$$ 如此, $$ex n(10^k-1)=m(a_1cdot 10^{k-1}+cdots+a_k) a mmid n(10^k-1). eex$$ 再由 (1), $m,n$ 的最大公约数 $(m,n)=1$, 而 $$ex mmid 10^k-1 a 10^k-1=qm a 10^k=qm+1. eex$$