251115南开大学2020年高等代数考研试题参考解答
1、 (20 分) 求
的逆矩阵.
2、 (30 分) 设
求正交矩阵 和对角矩阵 , 使得 .
3、 (20 分) 证明矩阵
与
不相似.
4、 (15 分) 设 是有限维欧氏空间 上的线性变换, 并设 的共轭变换为 . 如果 . 求证: 的秩等于 的秩与 的秩之和.
5、 (20 分) 如果 是 的一组基, 是 的一组基. 求证: 下列 矩阵构成的集合
是 的一组基.
6、 (15 分) 设 有 个互不相等的特征值 . 定义 上的线性变换 如下:
证明: 是 的特征值.
7、 (10 分) 设 和 都是次数不超过 ( ) 的实系数多项式. 证明: 存在次数不超过 的非零实系数多项式 , 使得 对任意实数 成立.
8、 (10 分) 设 为 阶实对称矩阵, 且 . 证明: 存在 阶实矩阵 , 使得
9、 (10 分) 设 是 维实线性空间. 如果存在 上的可逆线性变换 使得等式 成立. 求正整数 的所有可能值.