张量网络_约束可满足性问题

一、定义

定义（约束可满足问题CSP((cal{F}))）：输入时一些形式来自(cal{F})的约束(R_j)，每个(R_j)作用于布尔变量(x_1,x_2,...x_n)中的若干个，是否存在一个变量的赋值(pi:{x_1,x_2,...x_n } ightarrow {0,1})，使得(pi)满足每一个约束(R_j)。

CSP问题，就是通过规定可作用变量的约束的函数集合(cal{F})，定义的对应可满足问题CSP((cal{F}))。当(cal{F})变动的时候，CSP((cal{F}))就构成一个判定问题集合。如此一来，就可以研究(cal{F})如何决定CSP((cal{F}))的计算复杂性。

二、计数问题的难解性的判定标准

判定问题3SAT，对应一个计数问题#3SAT。

定义（#3SAT问题） 输入是一个3CNF公式(varphi)，(varphi)是关于布尔变量集(X = {x_1,x_2,...x_n})的，问存在多少个赋值(pi: {x_1,x_2,...x_n} ightarrow {0,1})，使得(pi)满足(varphi)。

定义（满足约束解数目问题(#CSP)）：输入时一些形式来自(cal{F})的约束(R_j)，每个(R_j)作用于布尔变量(x_1,x_2,...x_n)中的若干个，问存在多少个赋值(pi:{x_1,x_2,...x_n } ightarrow {0,1})，使得(pi)满足每一个约束(R_j)。即问：

[sumlimits_{pi:{x_1,x_2,...x_n} ightarrow {0,1}} prodlimits_j R_j(pi|_{inputs of R_j}) ]

定义 (#P困难性) 如果#P里的任何一个问题A都可以归约到某个问题B，则称B是#P困难的。

定理 #3SAT是#P困难的。

三、复数值域的满足约束解数目问题

四、#CSP与张量网络

定理 #(CSP(cal{F}))等价于#(cal{F}|{=_1,=_2,...,=_d...})等价于#(cal{F}cup {=_1,=_2,...,=_d,...})。

例如：三元相等函数

["=_3"(e_1,e_2,e_3) = left{ egin{aligned} 1 &,if quad e_1 = e_2 = e_3\ 0 &,otherwise end{aligned} ight. quad 类似于张量网络里"=_3" = [1,0,0,1] ]

五、图同态数目问题

一个图(G(V_G,E_G))到图(H(V_H,E_H))的同态，是一个从(V_G)到(V_H)的映射(psi)，满足对任意(e=(u,v)in E_G,(psi(u),psi(v))in E_H)。

例子如下所示：

(G)中的每一定点对，都可以在(H)中找到，所以(G)是(H)的同态。下面的是图不同态的例子。

比如(G)中的(<R,R>)，在(H)中找不到映射的边。其实上述图同态问题，可以转化为图三染色问题。如果(G)是(H)的同态，那么(G)一定是(H)的一个正确染色实例。

定义 (到图H的同态数目问题)输入图是G,问G到H的同态数目。图H的边关系是一个二元关系(H:V imes V ightarrow {0,1})。

图同态数目问题就是#(CSP({H}))问题。如下图所示。

其中(H)为约束。其中(H)的连通矩阵为：

相同顶点的边不能连在一起，即为0。