01. (15pt) 计算极限
[lim_{x oinfty}left(sinfrac1x+cosfrac1x
ight)^{x} ext{．}]
02. (15pt) 计算极限
[lim_{x o 0} left(frac{4+mathrm{e}^{frac1x}}{2+mathrm{e}^{frac4x}}+frac{sin x}{|x|}
ight) ext{．}]
03. (15pt) 判断 (并证明) 函数 $f(x,y)=sqrt{|{xy}|}$ 在点 $(0,0)$ 处的可微性．
04. (15pt) 求三个实常数 $a,b,c$，使得下式成立
[lim_{x o 0}frac1{ an x -ax}int_b^xfrac{s^2}{sqrt{1-s^2}}\,mathrm{d}s =c ext{．}]
05. (15pt) 计算不定积分
[intfrac{mathrm{d}x}{sin^6 x+cos^6 x} ext{．}]
06. (15pt) 设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二次连续可微，$f(0)=0$，证明：
[
left|int_{-1}^1 f(x)\,mathrm{d}x
ight|leqfrac{M}{3},quad ext{其中 }M=max_{xin[-1,1]}left|f''(x)
ight| ext{．}
]
07. (15pt) 求曲线 $y=dfrac12x^2$ 上的点，使得曲线在该点处的法线被曲线所截得的线段长度最短．
08. (15pt) 设 $x>0$，证明
[sqrt{x+1}-sqrt{x}=frac1{2sqrt{x+ heta}} ext{，}]其中 $ heta= heta(x)>0$，并且 $limlimits_{x o 0} heta(x)=dfrac 14$．
09. (15pt) 设
[u_n(x)=frac{(-1)^n}{(n^2-n+1)^x}quad (ngeq 0) ext{，}]求函数 $f(x)=sumlimits_{n=0}^{infty}u_n(x)$ 的绝对收敛、条件收敛以及发散的区域．
10. (15pt) 证明
[frac15<int_0^1frac{xmathrm{e}^x}{sqrt{x^2-x+25}}\,mathrm{d}x<frac{2sqrt{11}}{33} ext{．}]
一、(20pt) 设 $p(x),q(x),r(x)$ 都是数域 $mathbb{k}$ 上的正次数多项式，而且 $p(x)$ 与 $q(x)$ 互素，$mathrm{deg}(r(x))<mathrm{deg}(p(x))+mathrm{deg}(q(x))$．证明：存在数域 $mathbb{k}$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，满足 $mathrm{deg}(u(x))<mathrm{deg}(p(x)),\,mathrm{deg}(v(x))<mathrm{deg}(q(x))$，使得
[frac{r(x)}{p(x)q(x)}=frac{u(x)}{p(x)}+frac{v(x)}{q(x)} ext{．}]
二、(20pt) 设 $n$ 阶方阵 $M_n=left(|i-j|
ight)_{1leq i,j leq n}$，令 $D_n=mathrm{det}(M_n)$ ($M_n$ 的行列式)．
(1) 计算 $D_4$；
(2) 证明 $D_n$ 满足递推关系式 $D_n=-4D_{n-1}-4D_{n-2}$；
(3) 求 $n$ 阶方阵 $A_n=left(left|frac1i-frac1j
ight|^{llap{phantom{b}}}
ight)_{1leq i,j leq n}$ 的行列式 $mathrm{det}(A_n)$．
三、(20pt) 设 $A,B$ 均是 $n$ 阶方阵，满足 $AB=0$．证明
(1) $mathrm{rank}(A)+mathrm{rank}(B) leq n$；
(2) 对于方阵 $A$ 和正整数 $k\,(mathrm{rank}(A) leq k leq n)$，必存在方阵 $B$，使得
[mathrm{rank}(A)+mathrm{rank}(B)=k ext{．}]
四、(20pt) 通过正交变换将下面的实二次型化成标准型：
[q(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3-2x_1x_3 ext{．}]
五、(20pt) 设 $A$ 和 $B$ 是两个 $n$ 阶实矩阵，并且 $A$ 是对称正定矩阵，$B$ 是反对称矩阵．证明：$A+B$ 是可逆矩阵．
六、(20pt) 设 $A$ 是 $n$ 阶复数矩阵，且 $A=left(egin{array}{l} A_1\ A_2end{array}
ight)$，令
[
V_1=left{\,xinmathbb{C}^n\,middle|\,A_1 x=0\,
ight},quad
V_1=left{\,xinmathbb{C}^n\,middle|\,A_2 x=0\,
ight} ext{，}
]证明：矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是向量空间 $mathbb{C}^n$ 能够表示成子空间 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和：$mathbb{C}^n=V_1 oplus V_2$．
七、(15pt) 证明：$8$ 个满足 $A^3=0$ 的 $5$ 阶复数矩阵中必有两个相似．
八、(15pt) $mathbb{R}$ 上所有 $n\,(ngeq 2)$ 阶方阵构成的线性空间 $V=mathbb{R}^{n imes n}$ 上的线性变换 $f:\, V o V$ 定义为
[
f(A)=A+A'quad forall Ain V ext{，}
]其中 $A'$ 为 $A$ 的转置．求 $f$ 的特征值、特征子空间、极小多项式．
来源：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=38108&extra=page%3D1