设$f(x)$于$[0,1]$上严格单调递减，且$f(0)=1,f(1)=0$,证明:
$$int_{0}^{1}f^{n}(x)dx sim int_{0}^{delta}f^{n}(x), n o infty$$
其中任意$delta in [0,1]$.
解答： 注意到
$$int_{0}^{1}f^{n}(x)dx=int_{0}^{delta}left(frac{f(x)}{f(0)}
ight)^{n}dx+int_{delta}^{1}left(frac{f(x)}{f(0)}
ight)^{n}dx$$
对右端第二项积分 $I_{2}$ 放缩
$$I_{2}leq left(frac{f(delta)}{f(0)}
ight)^{n} cdot (1-delta)$$
放缩
$$frac{I_{2}}{I_{1}}leq frac{f^{n}(delta)cdot (1-delta)}{int_{0}^{delta/2}f^{n}(x)dx}leq left(frac{f(delta)}{f(frac{delta}{2})} ight)^{n}cdot frac{2(1-delta)}{delta} o 0, n o infty$$
本题说明了 $int_{0}^{1}f^{n}(x)dx,n o infty$主要集中在最大值$x=0$的任意邻域的积分。理论背景是Laplace渐进分析 （局部化原理）。