引理: (Abel分部求和法)
$$sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$
其中$A_{k}=a_{1}+a_{2}+cdots+a_{n}$.
结论 1:
$$sum_{k=1}^{n}k=frac{k(k+1)}{2}$$
结论 2:
$$sum_{k=1}^{n}k^{2}=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
证明: 由分部求和公式得
egin{align*}
sum_{k=1}^{n}k^{2}=sum_{k=1}^{n}kcdot k&=frac{n^{2}(n+1)}{2}-frac{1}{2}sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+k)\
&=frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-frac{1}{2}sum_{k=1}^{n}k^{2}
end{align*}
移项整理便得结论2.
结论 3:
$$sum_{k=1}^{n}k^{3}=frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$$
证明: 由分部求和公式得
egin{align*}
sum_{k=1}^{n}k^{3}=sum_{k=1}^{n}k^{2}cdot k&=frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-frac{1}{6}sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(2k+1)\
&=frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-frac{1}{3}sum_{k=1}^{n}k^{3}-frac{1}{2}sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-frac{1}{6}sum_{k=1}^{n-1}k+frac{n^{3}}{3}
end{align*}
由结论1 结论2便得结论3.
用此方法可得任意$alpha$为整数, 和式
$$sum_{k=1}^{n}k^{alpha}$$
的表达式.
也可以用贝努利求和公式计算。
命题:设$f(x)$为任意函数,则
$$sum_{k=1}^{n}f(k)=inom{n}{1}f(1)+inom{n}{2}Delta f(1)+cdots+inom{n}{k}Delta^{k-1}f(1)+cdots+inom{n}{n}Delta^{n-1}f(1)$$
其中$Delta$是差分算子, $Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$.
证明: 定义位移算子$E f(x)=f(x+1)$,那么 $E=I+Delta$,$I$为恒等算子.
$$sum_{k=1}^{n}f(k)=sum_{k=1}^{n}E^{k-1}f(1)=sum_{k=1}^{n}(I+Delta)^{k-1}f(1)$$
$$=Delta^{-1}left[(I+Delta)^{n}-I
ight]f(1)=sum_{k=1}^{n}inom{n}{k}Delta^{k-1}f(1)$$
取$f(k)=k^{4}$，经计算
$$sum_{k=1}^{n}k^{4}=inom{n}{1}+15inom{n}{2}+50inom{n}{3}+60inom{n}{4}+24inom{n}{5}$$