何承天不等式:
[frac{a}{b} leq frac{ma+nd}{mb+nc}leq frac{d}{c}]
其中$a,b,c,d,m,n in mathbb{R}$.
Proof:这是一个有重要应用的不等式(变分迭代算法中)
先证明一个简单情况$m=n=1$时,设 $H(m,n)=frac{ma+nd}{mb+nc}$
则
[H(1,1)=frac{b+d}{a+c}=frac{b}{a}frac{1+d/b}{1+c/a}geq frac{b}{a}]
同理可得$H(1,1)geq frac{d}{c}$.
由原式
[frac{mb}{na}leq frac{nd}{nc}]
故
[frac{a}{b} leq frac{ma+nd}{mb+nc}leq frac{d}{c}]