Entropy and information
熵：度量一个物理系统中的态的不确定度。
注意： 文中出现的‘ 凸性’ convexity 和 ‘ 凹性’ concavity 的在不同的教材中可能含义相反。
有2个概念： 矩阵的 kernal， 和矩阵的 support
11.1 经典信息论： 香农熵
11.2 熵的基本性质
11.2.1 二元熵
11.2.2 相对熵
11.2.3 条件熵和互信息
11.2.4 数据处理不等式
11.3 冯诺依曼熵
11.3.1 量子相对熵
11.3.2 量子熵的基本性质
11.3.3 测量和熵
11.3.4 量子子可加性
11.3.5 熵的凹性
11.3.6 混合量子系统的熵
11.4 强-子可加性： 三体系统
对于一个随机变量X，熵即可视为在知道X的值之前我们不确定度的度量，也可以度量在知道X的值之后我们获得的信息，这两种观点是互补的。
熵定义为：随机变量取不同可能值的概率的函数，而不关心具体的值是多少。
设概率分布为 p1,p2,…，pn, 则相联系的香农熵为：
H（X）=H（p1,p2,…，pn）= - ∑x px*log(px)
这样定义熵可以用来 ‘ 量化存储信息所需的资源 ’。参考 ‘ 香农无噪声编码理论 ’ 。shannon's noiseless coding theorem
例子： 假设一个信息源产生 4个符号 1,2,3，4 中的一个。无压缩时，对于源的每一次使用，对应4个可能输出的 2 bits 存储空间被占用。 假设
产生 1 的概率为 1/2 ,
产生 2 的概率为 1/4 ,
产生 3 的概率为 1/8 ,
产生 4 的概率为 1/8 。
可采用 Huffman 编码， 即利用输出的‘ 偏爱 bias’ 来压缩源。如 1 编码为 0，2 编码为 10,3 编码为 110，4 编码为 111. 则压缩串的平均长度为 7/4.
这个和源的熵相一致： H（X）=7/4
可以证明：进一步压缩源会导致数据不可恢复地损失；熵量化了可能达到的最优压缩。
上面这个例子揭示了一个信息理论的核心理念： 对信息的基本测量可解答 ‘ 解决信息处理问题所需的物理资源 ’。
当p=1/2. Hmax=1
具有凹性质：
for 0<=p,x1,x2<=1
度量2个概率分布 p（x）和 q(x) 有多近。
the relative entropy of p(x) to q(x) is 
显然 相对熵是体现‘ 差异’，或者说‘ 不一样的’ 信息。如果 p(x)=q(x) ,没有差异性的信息，相对熵当然为0
非负性：相对熵总是非负的。
一些熵有关的量能被认为是相对熵的特例。
例子： 设 p(x) 为X的概率分布，有d个结果；p(x)=1/d 为均匀分布。则通过相对熵的非负性可以证明：
log d>=H(x)
香农熵的次可加性：对于二元概率分布
等号为当 X 和 Y 为独立随机变量时成立。
这也很好理解，当X和Y有关联时，那它们的‘ 联合信息’ 量肯定少于各自的信息量加起来。
如何表示 X中与Y有关的信息内容。
X和Y的联合熵 joint entropy 为：
对于 pair （X,Y），假设我们知道 Y的值，剩下的不确定度与‘不知道X’ 相联系。‘ 在知道Y条件上的X的熵 ’ 定义为：
H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)
'X 和 Y 的互信息内容'，度量X和Y有多少共同信息。
用韦恩图方便记忆：
条件熵的链式法则：
声明： 输出信息只能随时间减少：一旦信息丢失，就永远流失。
一个 Markov chain 是一个序列 X1->X2->…… ， Xn+1 独立于 X1，…，Xn-1, 在给定 Xn 下。
量子态中，其密度算符取代了额经典概率分布。因此：
完全混合态，其熵为 log d. d 为希尔伯特空间维度
显然： 纯态的熵为0，因为纯态的本征值为 1,0,0，0……
非负，可以是无穷大。
结论：1. 可以根据定义证明：
2. 对于有2部分 A 和 B 的复合量子系统， 其 ‘ 联合熵 ’ S（A，B） 定义为：
当我们对一个量子系统执行测量，其熵如何表现？
投影测量会增加熵 
Pi 为正交投影子的完备集。
以 1-qubit 为例， 如果测量前为纯态 H，那么测量后态还为 H；
为纯态+ ， 为完全混态密度矩阵。
广义测量可以减少熵： 如 |0><0|+|0><1|
A和B系统的联合熵满足：
第一个式子当 A，B为分离态时取等号。
给定概率 pi 和密度矩阵 rou:
证明这个不等式用了一个技巧： 引入一个辅助系统 B。最后B的熵可以消掉。
11.3.6 混合量子态的熵
其上下界为：
3个量子系统 A,B,C 的态有：
