DS博客作业04--图

0.PTA得分截图

1.本周学习总结（0-5分）

1.1 总结图内容

• 图形逻辑结构
  结构特点：多对多
  图：顶点集 V 和顶点间的关系：边集合E组成的数据结构。
  图的逻辑结构描述：Graph = (V , E)
  比如：
  G=（V1,E1）
  V1={A, B, C, D, E}
  E1={<A,B>, <A,E>, <B,C>, <C,D>,<D,B>,<D,A>, <E,C> }

图分为有向图和无向图两种

• 有向图：有向图称由顶点集和弧集构成的图。“弧”是有方向的边。
  比如：
  

• 无向图：没方向的边，也可以理解为双方向的边。
  比如：
  

• 图的基本术语
  1、 端点和邻接点
  无向图:若存在一条边(i，j)，则称顶点i和顶点j互为邻接点。
  有向图:存在一条边<i，j>，则称此边是顶点i的一条出边，同时也是顶点j的一条入边；称顶点i 和顶点j 互为邻接点。

2、顶点的度、入度和出度
无向图：以顶点i为端点的边数称为该顶点的度。
比如下图：

顶点0的度为3，顶点1的度为3，顶点2的度为3，顶点3的度为4，顶点4的度为3
有向图：以顶点i为终点的入边的数目，称为该顶点的入度。以顶点i为始点的出边的数目，称为该顶点的出度。一个顶点的入度与出度的和为该顶点的度。
比如下图：

顶点0的入度为1，出度为2，顶点0的度为1+2=3。
顶点1的入度为1，出度为2，顶点0的度为1+2=3。
顶点2、顶点4同理。
而顶点3的入度为4，出度为0，顶点0的度为4+0=4。

3、完全图
无向图：每两个顶点之间都存在着一条边，称为完全无向图， 包含有n(n-1)/2条边。
有向图：每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，称为完全有向图，包含有n(n-1)条边。
比如：

4、稠密图、稀疏图
当一个图接近完全图时，则称为稠密图。相反，当一个图含有较少的边数（即当e<<n(n-1)）时，则称为稀疏图。

5、子图
子图定义：设有两个图G=(V，E)和G'=(V'，E')，若V'是V的子集，即V'V，且E'是E的子集，即E'E，则称G'是G的子图。

6. 路径和路径长度
   从顶点i到顶点j的一条路径是一个顶点序列(i,i1,i2,…,im,j)，序列中边(i,i1)，(i1,i2)，…，(im-1,im)，(im,j)属于E(G)；
   路径长度是指一条路径上经过的边的数目。
   简单路径：一条路径上除开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同。

7、 回路或环
定义：一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点。
简单回路或简单环：开始点与结束点相同的简单路径。

8、连通、连通图和连通分量
①无向图
若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和j是连通的。
连通图：图中任意两个顶点都连通，否则称为非连通图。
连通分量：无向图G中的极大连通子图。
任何连通图的连通分量只有一个，即本身
而非连通图有多个连通分量。
②有向图
若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图。
否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。

9、权和网
1、图中每一条边都可以附有一个对应的数值，这种与边相关的数值称为权。
2、边上带有权的图称为带权图，也称作网。

• 图存储结构
  图的两种主要存储结构：邻接矩阵、邻接表
  • 图的存储结构：二维数组
    邻接矩阵存储表示：
    1.顶点信息：记录各个顶点信息的顶点表。
    2.边或弧信息：各个顶点之间关系的邻接矩阵。
    设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图
    A.Vex[n]:表示顶点信息集
    二维数组 A.edge[n][n]表示边的关系

图的邻接矩阵存储类型定义如下：

#define  MAXV  <最大顶点个数>	
typedef struct 
{    int no;			//顶点编号
     InfoType info;		//顶点其他信息
} VertexType;
typedef struct  			//图的定义
{    int edges[MAXV][MAXV]; 	//邻接矩阵
     int n，e;  			//顶点数，边数
     VertexType vexs[MAXV];	//存放顶点信息
}  MatGraph;
 MatGraph G;//声明邻接矩阵存储的图

无向图建立的邻接矩阵是对称，而有向图建立的邻接矩阵可能是不对称的。
邻接矩阵的主要特点：　　　　
1、一个图的邻接矩阵表示是唯一的。
2、特别适合于稠密图的存储。
（邻接矩阵的存储空间为O(n2)）

• 创建图(有向图)

void CreateAdj(AdjGraph &G,int n,int e) //创建图邻接矩阵
{
      int a,b,info;
      int i;
      
      cin>>G.n>>G.e;
      for (i = 0; i <= G.n; i++)//图的初始化
	{
		for (j = 0; j <= G.n; j++)
		{
			if (i == j)
			{
				G.edges[i][j] = 0;
			}
			else
			{
				G.edges[i][j] = INF;
			}
		}
	}
      for(i=0;i<e;i++)
            {
                  G.edges[a][b]=info;
            }
}

• 图的存储结构：邻接表
  邻接表存储方法：对图中每个顶点i建立一个单链表，将顶点i的所有邻接点链起来。每个单链表上添加一个表头结点（表示顶点信息）。并将所有表头结点构成一个数组，下标为i的元素表示顶点i的表头结点。
  （图的邻接表存储方法是一种顺序分配与链式分配相结合的存储方法。）

图的邻接表存储类型定义如下：

typedef struct Vnode
{    Vertex data;			//顶点信息
     ArcNode *firstarc;		//指向第一条边
}  VNode;

typedef struct ANode
{     int adjvex;			//该边的终点编号
      struct ANode *nextarc;	//指向下一条边的指针
      InfoType info;		//该边的权值等信息
}  ArcNode;

typedef struct 
{     VNode adjlist[MAXV] ;	//邻接表
       int n，e;			//图中顶点数n和边数e
} AdjGraph;
AdjGraph *G；//声明一个邻接表存储的图G

• 创建图(有向图)

void CreateAdj(AdjGraph *&G,int n,int e) //创建图邻接表
{   
    int i,j,a,b;
    ArcNode *p;
    G=new AdjGraph;
    for (i=0;i<n;i++)   
      G->adjlist[i].firstarc=NULL;//给邻接表中所有头结点的指针域置初值
       for (i=1;i<=e;i++)		 //根据输入边建图      
      {          cin>>a>>b;	
	  p=new ArcNode;	//创建一个结点p
                p->adjvex=b;		 //存放邻接点
	 p->nextarc=G->adjlist[a].firstarc;  //采用头插法插入结点p
               G->adjlist[a].firstarc=p;
       }
      G->n=n; G->e=n;
}

• 图遍历及应用。

  • 图的遍历的概念：从给定图中任意指定的顶点（称为初始点）出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中的所有顶点，使每个顶点仅被访问一次。

  • 深度优先搜索遍历DFS
    过程：
    （1）从图中某个初始顶点v出发，首先访问初始顶点v。
    （2）选择一个与顶点v相邻且没被访问过的顶点w为初始顶点，再从w出发进行深度优先搜索，直到图中与当前顶点v邻接的所有顶点都被访问过为止。　
    比如：

DFS遍历：a c h d k f e b g

代码描述：

void DFS(ALGraph *G,int v)  //邻接表
{    ArcNode *p;
      visited[v]=1;                   //置已访问标记
      printf("%d  ",v); 	//对结点v的某种操作，比如输出
      p=G->adjlist[v].firstarc;      	
     while (p!=NULL) 
	{
                  if (visited[p->adjvex]==0)  DFS(G,p->adjvex);    
	     p=p->nextarc;              	
	}
}

void DFS(ALGraph* G, int v)  //邻接矩阵
{
	int i;

	visited[v] = 1;                   //置已访问标记
	printf("%d  ", v); 	//对结点v的某种操作，比如输出
	for (i = 0; i < G.n; i++)
	{
		if (!visited[i] && G.edges[v][i] == 1)
			DFS(G, i);
	}
}

邻接表遍历时间复杂度为O(n+e)，邻接矩阵遍历时间复杂度为O(n^2)。
上述代码无法解决非连通图的遍历。

非连通图的深度优先搜索遍历：
思路：将每一个结点置为未访问，然后循环遍历图中每个顶点，如果未被访问，则以该顶点为起始点，进行深度优先搜索遍历，否则继续检查下一顶点。
代码描述：

void DFSTraverse(Graph G) {
   // 对非连通图 G 作深度优先遍历。
  for (v=0; v<G.vexnum; ++v) 
     visited[v] = 0; // 访问标志数组初始化
  for (v=0; v<G.vexnum; ++v) 
     if (!visited[v])  DFS(G，v);  // 对尚未访问的顶点调用DFS
}

• 广度优先搜索遍历（BFS）
  广度优先搜索遍历的过程是：
  （1）访问初始点v，接着访问v的所有未被访问过的邻接点。
  （2）按照次序访问每一个顶点的所有未被访问过的邻接点。　
  （3）依次类推，直到图中所有顶点都被访问过为止。
  （类似树的层次遍历：队列）
  比如：

BFS：1 2 3 0 4

BFS伪代码描述：

建一个访问队列q
访问v节点，加入队列q
while(队列不空)
    取队头元素w
    遍历w的邻接表    
         取邻接点j
         若j未被访问，则加入队列q，并访问j。
end while

非连通图遍历算法：

void  BFS1(AdjGraph *G)
{      int i;
        for (i=0;i<G->n;i++)     //遍历所有未访问过的顶点
             if (visited[i]==0) 
                  BFS(G，i);
}

• 如何判断图是否连通
  若是要判断是否是非连通图，则在执行DFS函数之后，遍历visited[]数组，若有visited[i]为0，即i结点没有被访问到，则说明图不连通。
  判断无向图G是否连通的算法如下：

int  visited[MAXV];
bool Connect(AdjGraph *G) 	//判断无向图G的连通性
{     int i;
      bool flag=true;
      for (i=0;i<G->n;i++)		 //visited数组置初值
	visited[i]=0;
      DFS(G，0); 	//调用前面的中DSF算法，从顶点0开始深度优先遍历
      for (i=0;i<G->n;i++)
            if (visited[i]==0)
           {     flag=false;
	   break;
           }
      return flag;
}

• 判断顶点u,v是否有简单路径
  假设图G采用邻接表存储，设计一个算法，判断顶点u,v是否有简单路径。

void ExistPath(AGraph *G，int u，int v，bool &has)
{  //has表示u到v是否有路径,初值为false
       int w;  ArcNode *p;
       visited[u]=1;		//置已访问标记
       if (u==v)		//找到了一条路径
       {	
          has=true;	//置has为true并结束算法
	  return;
       }
      p=G->adjlist[u].firstarc;	//p指向顶点u的第一个相邻点
      while (p!=NULL)
      {	 w=p->adjvex;		//w为顶点u的相邻顶点
	 if (visited[w]==0)	//若w顶点未访问,递归访问它
	       ExistPath(G，w，v，has);
	 p=p->nextarc;	      	//p指向顶点u的下一个相邻点
      }
} 

• 如何查找图路径
  假设图G采用邻接表存储，设计一个算法输出图G中从顶点u v的一条简单路径（假设图G中从顶点u v至少有一条简单路径）。
  求解思路
  1、采用深度优先遍历的方法。
  2、增加path[i],存放路径。
  3、递归函数添加形参d，表示目前递归深度。path[d]=图结点
  4、当从顶点u遍历到顶点v后，输出path并返回。

void FindaPath(AGraph *G，int u，int v，int path[]，int d)
{　//d表示path中的路径长度，初始为-1
       int w,i;  ArcNode *p;
       visited[u]=1;
       d++; path[d]=u;		//路径长度d增1，顶点u加入到路径中
       if (u==v)			//找到一条路径后输出并返回
       {        printf("一条简单路径为:");
	  for (i=0;i<=d;i++)  printf("%d ",path[i]);
  	  printf("
");
	  return;         		//找到一条路径后返回
       }
       p=G->adjlist[u].firstarc;  	//p指向顶点u的第一个相邻点
       while (p!=NULL)
       {      w=p->adjvex;		//相邻点的编号为w
	if (visited[w]==0)
	     FindaPath(G，w，v，path，d);
	p=p->nextarc;   		//p指向顶点u的下一个相邻点
       }
}

• 最小生成树相关算法及应用
  生成最小生成树有两种算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
  • 生成树的概念：一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和构成一棵树的(n-1)条边。不能回路。
    比如：

• 最小生成树的概念
  对于带权连通图G ，n个顶点，n-1条边
  根据深度遍历或广度遍历生成生成树，树不唯一
  其中权值之和最小的生成树称为图的最小生成树。

• 普里姆算法
  过程：
  （1）初始化U={v}。v到其他顶点的所有边为候选边；
  （2）重复以下步骤n-1次，使得其他n-1个顶点被加入到U中：
  ① 从候选边中挑选权值最小的边输出，设该边在V-U中的顶点是k，将k加入U中；
  ②考察当前V-U中的所有顶点j，修改候选边：若(j，k)的权值小于原来和顶点k关联的候选边，则用(k，j)取代后者作为候选边。

设置2个辅助数组。
1.closest[i]：最小生成树的边依附在U中顶点编号。
2.lowcost[i]表示顶点i（i ∈ V－U）到U中顶点的边权重，取最小权重的顶点k加入U。并规定lowcost[k]=0表示这个顶点在U中
3.（closest[k]，k）构造最小生成树一条边。

伪代码描述：

初始化lowcost,closest数组
for(v=1;v<=n;v++)
    遍历lowcost数组     //选最小边
           若lowcost[i]！=0,找最小边
           找最小边对应邻接点k
    最小边lowcost[k]=0;
    输出边(closest[k],k);
    遍历lowcost数组     //修正lowcost
        若lowcost[i]!=0 && edges[i][k]<lowcost[k]
                修正lowcost[k]=edges[i][k]
                 修正closest[j]=k;
end

具体代码：

#define INF 32767		//INF表示∞
void Prim(MGraph g, int v)
{
	int lowcost[MAXV], min, closest[MAXV], i, j, k;
	for (i = 0; i < g.n; i++)	//给lowcost[]和closest[]置初值
	{
		lowcost[i] = g.edges[v][i]; closest[i] = v;
	}
	for (i = 1; i < g.n; i++)	  //找出(n-1)个顶点
	{
		min = INF;
		for (j = 0; j < g.n; j++) //     在(V-U)中找出离U最近的顶点k
			if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
			{
				min = lowcost[j];  k = j; / k记录最近顶点的编号
			}
		printf(" 边(%d,%d)权为:%d
", closest[k], k, min);
		lowcost[k] = 0;		//标记k已经加入U
		for (j = 0; j < g.n; j++)	//修改数组lowcost和closest
			if (lowcost[j] != 0 && g.edges[k][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = g.edges[k][j];
				closest[j] = k;
			}
	}
}

时间复杂度为O(n^2)。

• 克鲁斯卡尔算法
  是一种按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树的方法。

算法过程：
（1）置U的初值等于V（即包含有G中的全部顶点），TE的初值为空集（即图T中每一个顶点都构成一个连通分量）。
（2）将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取：
① 若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE；
②否则舍弃，直到TE中包含(n-1)条边为止。

代码描述：

void Kruskal(AdjGraph* g)
{
	int i，j，u1，v1，sn1，sn2，k;
	int vset[MAXV]; //集合辅助数组
	Edge E[MaxSize];	//存放所有边
	k = 0;			//E数组的下标从0开始计
	for (i = 0; i < g.n; i++)	//由g产生的边集E，邻接表
	{
		p = g->adjlist[i].firstarc;
		while (p != NULL)
		{
			E[k].u = i; E[k].v = p->adjvex;
			E[k].w = p->weight;
			k++; p = p->nextarc;
		}
	}
	Sort(E，g.e);	//用快排对E数组按权值递增排序
	for (i = 0; i < g.n; i++) 	//初始化集合
		vset[i] = i;
	k = 1;		//k表示当前构造生成树的第几条边，初值为1
	j = 0;		//E中边的下标，初值为0
	while (k < g.n)	//生成的顶点数小于n时循环
	{
		u1 = E[j].u; v1 = E[j].v;	//取一条边的头尾顶点
		sn1 = vset[u1];
		sn2 = vset[v1];	//分别得到两个顶点所属的集合编号
		if (sn1 != sn2)  	//两顶点属于不同的集合
		{
			printf("  (%d，%d):%d
"，u1，v1，E[j].w);
			k++;		   	//生成边数增1
			for (i = 0; i < g.n; i++)  	//两个集合统一编号
				if (vset[i] == sn2) 	//集合编号为sn2的改为sn1
					vset[i] = sn1;
		}
		j++;			   //扫描下一条边
	}
}

• 最短路径相关算法及应用。
  两种常见的最短路径问题：
  一、 单源最短路径—用Dijkstra（迪杰斯特拉）算法（一顶点到其余各顶点）
  二、所有顶点间的最短路径—用Floyd（弗洛伊德）算法（任意两顶点之间）

  • Dijkstra算法
    过程：
    0.初始化
    S={入选顶点集合，初值V0},T={未选顶点集合}。
    若存在<V0,Vi>，距离值为<V0,Vi>弧上的权值
    若不存在<V0,Vi>，距离值为∞
    从T中选取一个其距离值为最小的顶点W, 加入S
    1.从T中选取一个其距离值为最小的顶点W, 加入S
    2.S中加入顶点w后，对T中顶点的距离值进行修改：
    若加进W作中间顶点，从V0到Vj的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值；
    3.重复上述步骤1，直到S中包含所有顶点，即S=V为止。
    （采用一维数组path来保存最短路径）

伪代码描述：

遍历图中所有节点
     {
       for(i=0;i<g.n;i++) //找最短dist
           { 
             若s[i]!=0,则dist数组找最短路径，顶点为u
            }
          s[u]=1  //加入集合S，顶点已选
        for(i=0;i<g.n;i++)  //修正dist
           { 
             若s[i]!=0 && dist[i]>dist[u]+g.edges[u][i]
              则修正dist[i]= dist[i]>dist[u]+g.edges[u][i]
                   path[i]=u;
            }
    }

具体代码：

void Dijkstra(MatGraph g，int v)
{
	int dist[MAXV]，path[MAXV];
	int s[MAXV];
	int mindis, i, j, u;
	for (i = 0; i < g.n; i++)
	{
		dist[i] = g.edges[v][i];	//距离初始化
		s[i] = 0;			//s[]置空
		if (g.edges[v][i] < INF)	//路径初始化
			path[i] = v;		//顶点v到i有边时
		else
			path[i] = -1;		//顶点v到i没边时
	}
	s[v] = 1;	 		//源点v放入S中
	for (i = 0; i < g.n; i++)	 	//循环n-1次
	{
		mindis = INF;
		for (j = 0; j < g.n; j++)
			if (s[j] == 0 && dist[j] < mindis)
			{
				u = j;
				mindis = dist[j];
			}
		s[u] = 1;			//顶点u加入S中
		for (j = 0; j < g.n; j++)	//修改不在s中的顶点的距离
			if (s[j] == 0)
				if (g.edges[u][j] < INF && dist[u] + g.edges[u][j] < dist[j])
				{
					dist[j] = dist[u] + g.edges[u][j];
					path[j] = u;
				}
	}
	Dispath(dist, path, s, g.n, v);	//输出最短路径
}

Dijkstra算法特点
1、不适用带负权值的带权图求单源最短路径。
2、不适用求最长路径长度。

图存储结构：邻接矩阵存储
数组dist[]：源点V0到每个终点的最短路径长度。

• Floyd算法
  思路：
  有向图G=(V，E)采用邻接矩阵存储
  二维数组A用于存放当前顶点之间的最短路径长度，分量A[i][j]表示当前顶点i到顶点j的最短路径长度。
  递推产生一个矩阵序列A0，A1，…，Ak，…，An-1，Ak+1[i][j]表示从顶点i到顶点j的路径上所经过的顶点编号k+1的最短路径长度。

Ak[i,j]=MIN{ Ak-1[i,j]，Ak-1[i,k]+Ak-1[k,j] }

上代码：

void Floyd(MatGraph g)		//求每对顶点之间的最短路径
{     int A[MAXVEX][MAXVEX];	//建立A数组
      int path[MAXVEX][MAXVEX];	//建立path数组
　  int i, j, k;
　  for (i=0;i<g.n;i++)   		
         for (j=0;j<g.n;j++) 
         {       A[i][j]=g.edges[i][j];
	　if (i!=j && g.edges[i][j]<INF)
	          path[i][j]=i; 	//i和j顶点之间有一条边时
　　　　 else			 //i和j顶点之间没有一条边时
	          path[i][j]=-1;
     }
      for (k=0;k<g.n;k++)		//求Ak[i][j]
　{     for (i=0;i<g.n;i++)
　　　    for (j=0;j<g.n;j++)
	　   if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])	//找到更短路径
	　   {　   A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];	//修改路径长度
	　            path[i][j]=k; 	//修改经过顶点k
　　　　    }
　  }
}

求任意两顶点之间的最短路径：
1、调用n次Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
2、Floyd（弗洛伊德）算法
时间复杂度均为O（n^3）。

• 拓扑排序、关键路径
  • 拓扑排序
    在一个有向图中找一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。
    序列必须满足条件：
    1、每个顶点出现且只出现一次。
    2、若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

例子：
如图：

拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9--C10--C11--C6--C12--C8
或C9--C10--C11--C6--C1--C12--C4--C2--C3--C5--C7--C8

特点：
图中有回路，无法拓扑排序
拓扑排序可以用来检测图中是否有回路

那么如何进行拓扑排序呢？
1.从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
2.从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
3.重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

ps：一个AOV-网的拓扑序列不是唯一的
头结点结构体（多了一个count）：

typedef struct 	       //表头节点类型
{  vertex data;         //顶点信息
   int count;           //存放顶点入度
   ArcNode *firstarc;   //指向第一条弧
} VNode;

伪代码描述：

遍历邻接表
      计算每个顶点的入度，存入头结点count成员
遍历图顶点
    若发现入度为0顶点，入栈st
while(栈不空)
{
     出栈节点v，访问。
    遍历v的所有邻接点
       {     所有邻接点的入度-1  
              若有邻接点入度为0，则入栈st
       }
}

具体代码：

void TopSort(AdjGraph *G)	//拓扑排序算法
{      int i，j;
        int St[MAXV]，top=-1;	//栈St的指针为top
        ArcNode *p;
        for (i=0;i<G->n;i++)		//入度置初值0
	G->adjlist[i].count=0;
        for (i=0;i<G->n;i++)		//求所有顶点的入度
        {	p=G->adjlist[i].firstarc;
	while (p!=NULL)
	{        G->adjlist[p->adjvex].count++;
	          p=p->nextarc;
	}
        }
         for (i=0;i<G->n;i++)		//将入度为0的顶点进栈
	 if (G->adjlist[i].count==0)
	 {	top++;
		St[top]=i;
	 }
         while (top>-1)			//栈不空循环
         {	  i=St[top];top--;			//出栈一个顶点i
	  printf("%d ",i);		//输出该顶点
	  p=G->adjlist[i].firstarc;		//找第一个邻接点
	  while (p!=NULL)		//将顶点i的出边邻接点的入度减1
	  {      j=p->adjvex;
	         G->adjlist[j].count--;
	         if (G->adjlist[j].count==0)	//将入度为0的邻接点进栈
	         {      top++;
		  St[top]=j;
	         }
	         p=p->nextarc;		//找下一个邻接点
	}
       }
}

• 关键路径
  整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径。又叫关键路径。
  关键路径为源点到汇点的最长路径，这样转变为查找图中最长路径问题。

求关键路径的过程
1.事件的最早开始和最迟开始时间
事件v最早开始时间ve(v)：v作为源点事件最早开始时间为0。
ve(v)=0　　 当v为初始源点时
ve(v)=MAX{ve(x)+a，ve(y)+b，ve(z)+c} 否则
（v为源点事件最早开始时间一定是前驱事件x,y,z已完成）
如图：

2、事件v的最迟开始时间vl(v)：定义在不影响整个工程进度的前提下，事件v必须发生的时间称为v的最迟开始时间。
vl(v)=ve(v) 当v为终点时
vl(v)=MIN{vl(x)-a，vl(y)-b，vl(z)-c} 否则
（最迟时间要保证后继事件能完成，取最小）
如图：

• 求关键路径步骤
  1.对有向图拓扑排序
  2.根据拓扑序列计算事件(顶点)的ve，vl数组
  ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i,j>)}
  vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i,j>)}
  3.计算关键活动的e[],l[]。即边的最早、最迟时间
  e(i) = ve(j)
  l(i) = vl(k) - dut(<j, k>
  4.找e=l边即为关键活动
  5.关键活动连接起来就是关键路径

1.2.谈谈你对图的认识及学习体会。

2.阅读代码（0--5分）

2.1 题目及解题代码

• 题目：

• 解题代码：

class Solution {
public:
    vector<int> findRedundantConnection(vector<vector<int>>& edges) {
        vector<int> rp(1001);
        int sz = edges.size();
        // 初始化各元素为单独的集合，代表节点就是其本身
        for(int i=0;i<sz;i++)
            rp[i] = i;
        for(int j=0;j<sz;j++){
            // 找到边上两个节点所在集合的代表节点
            int set1 = find(edges[j][0], rp);
            int set2 = find(edges[j][1], rp);
            if(set1 == set2)  // 两个集合代表节点相同，说明出现环，返回答案
                return edges[j]; 
            else    // 两个集合独立，合并集合。将前一个集合代表节点戳到后一个集合代表节点上
                rp[set1] = set2;
        }
        return {0, 0};
    }

    // 查找路径并返回代表节点，实际上就是给定当前节点，返回该节点所在集合的代表节点
    // 之前这里写的压缩路径，引起歧义，因为结果没更新到vector里，所以这里改成路径查找比较合适
    // 感谢各位老哥的提议
    int find(int n, vector<int> &rp){
        int num = n;
        while(rp[num] != num)
            num = rp[num];
        return num;
    }
};
/*
作者：Zhcode
链接：https://leetcode-cn.com/problems/redundant-connection/solution/tong-su-jiang-jie-bing-cha-ji-bang-zhu-xiao-bai-ku/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
*/

2.1.1 该题的设计思路

采用并查集解法
我们以这个边集合为例子[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]讲解
一、首先，对于边集合edges的每个元素，我们将其看作两个节点集合
比如边[2, 3],我们将其看作节点集合2，和节点集合3
二、在没有添加边的时候，各个节点集合独立，我们需要初始化各个节点集合的代表节点为其自身
所以，我们先初始化一个容器vector，使得vector[i]=i
这里两个i意思不同，作为索引的i是指当前节点，作为值的i是指当前节点所在集合的代表节点
比如vector[2] = 2，意味着2这个节点所在集合的代表节点就是2，没有添加边的情况下，所有节点单独成集合，自身就是代表节点
初始化后，集合图如下图所示：

三、然后我们开始遍历边集合，将边转化为集合的关系
这里有一点很重要：边[a,b]意味着a所在集合可以和b所在集合合并。
合并方法很多，这里我们简单地将a集合的代表节点戳到b集合的代表节点上
这意味着，将b集合代表节点作为合并后大集合的代表节点
对于一个集合的代表节点s，一定有s->s，意思是s如果是代表节点，那么它本身不存在代表节点
假设我们的读取顺序为[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]
初始化vector[0, 1, 2, 3, 4, 5]
对应的index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
1.读取[1,2]：
读取顺序为[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]
当前vector[0, 1, 2, 3, 4, 5]
当前index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
原本1->1，2->2，
由1节点出发，vector[1]=1, 找到1所在集合的代表节点1
由2节点出发，vector[2]=2, 找到2所在集合的代表节点2
于是，将1的代表置为2，vector[1]=2, vector[2]=2
对应的vector[0, 2, 2, 3, 4, 5]
对应的index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
原集合变为下图：

2.读取[3, 4]
读取顺序为[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]
当前vector[0, 2, 2, 3, 4, 5]
当前index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
同理，将3所在集合的的代表节点3的代表节点置为4
对应的vector[0, 2, 2, 4, 4, 5]
对应的index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
集合变化如下图：

3.读取[3, 2]
读取顺序为[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]
当前vector[0, 1, 2, 4, 4, 5]
当前index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
从节点3出发，vector[3]=4, vector[4]=4,于是找到节点3所在集合的代表节点为4
从节点2出发，vector[2]=2, 找到节点2所在集合的代表节点为2
于是，将4的代表置为2，vector[4]=2, vector[2]=2
对应的vector[0, 2, 2, 4, 2, 5]
对应的index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
集合变化如下图：

4.读取[1, 4]
读取顺序为[[1,2], [3,4], [3,2], [1,4], [1,5]]
当前vector[0, 2, 2, 4, 2, 5]
当前index [0, 1, 2, 3, 4, 5]
从节点1出发，vector[1]=2, vector[2]=2, 找到节点1所在集合代表节点为2
从节点4出发，vector[4]=2, vector[2]=2, 找到节点4所在集合代表节点为2
由于1和4的代表节点相同，说明这两个节点本身就在同一个集合中
由于原图是无向图，路径是双向可达的，1能够到达2,而且2能够到达4，再加上1能够到达4
说明1能通过两条路径到达4，,这也意味着这条边出现的时候，原图中一定出现了环
至于题中要求的，返回最后一条边，其实这就是返回添加过后会构成环的那一条边
直白解释就是，在这条边出现之前，图中没有环
这条边出现，图中也出现环。包括这条边在内，构成环的边都是满足破圈条件的边
然而谁是最后一条出现在边集合里的？当然，就是这条构成环的最后一条边
时间复杂度：O（n2）；
空间复杂度：O（n）；

2.1.2 该题的伪代码

初始化各元素为单独的集合，代表节点就是其本身
for(int i=0;i<sz;i++)rp[i] = i;
      for (j=0->sz)
      用find函数找到边上两个节点所在集合的代表节点set1和set2
      if（set1和set2相等），即两个集合代表节点相同，说明出现环
      return答案
      else 两个集合独立，合并集合。将前一个集合代表节点戳到后一个集合代表节点上
      rp[set1] = set2;
end for
int find函数：//找n的代表结点
      {
        int num = n;
            while(num的代表结点不是它本身)
            num = num的父节点;
            end while
        return num;
    }

2.1.3 运行结果

2.1.4分析该题目解题优势及难点。

优势：巧妙运用并查集，筛选出会形成“环”的那一条边。
难点：如果对并查集运用不熟练，会卡壳。这道题要求我们深入理解并查集。

2.2 题目及解题代码

题目：

解题代码：

class Solution {
public:
    vector<int> eventualSafeNodes(vector<vector<int>>& graph) {
        int n = graph.size();
        vector<int> outDegree(n, 0); // 维护出度
        vector<vector<int>> revGraph(n, vector<int>{});
        vector<int> ans;
        for (int i =0; i < n; i++){
            outDegree[i] = graph[i].size();
            for (auto &end : graph[i]){
                revGraph[end].push_back(i);
            }
        }
        queue<int> q;
        for (int i =0; i< n ; i++){
            if (outDegree[i] == 0) q.push(i);
        }
        while (!q.empty()){
            int f = q.front();
            ans.push_back(f);
            q.pop();
            for (auto start: revGraph[f]){
                outDegree[start]--;
                if (outDegree[start] == 0) q.push(start);
            }
        }
        sort(ans.begin(), ans.end());
        return ans;
    }
};

2.2.1 该题的设计思路

tips:题目有说：“存在一个自然数 K, 无论选择从哪里开始行走, 我们走了不到 K 步后必能停止在一个终点。”，实际上这道题并没有给出k的值，也不对k作出要求，所以这句话可忽略掉。

解题思路
定义安全的点：路径终点，也就是出度为0的点
定义最终安全的点：从起始节点开始，可以沿某个路径到达终点，那么起始节点就是最终安全的点。
1、找到出度为0的顶点，这些点是安全的点
2、逆向删除以出度为0的顶点为弧头的边，弧尾的出度减一
3、重复上面两步，直到不存在出度为0的顶点

时间复杂度：O（n2）；
空间复杂度：O（n）；

2.2.2 该题的伪代码

2.2.3 运行结果

2.2.4分析该题目解题优势及难点。