POJ3417 Network（树上差分）

题意：

Dark 是一张无向图，图中有N个节点和两类边，一类边被称为主要边，而另一类被称为附加边。Dark 有 N-1条主要边，并且 Dark 的任意两个节点之间都存在一条只由主要边构成的路径。另外，Dark 还有 M条附加边。

你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态，你只能选择一条主要边切断。一旦你切断了一条主要边，Dark 就会进入防御模式，主要边会变为无敌的而附加边可以被切断。但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。

现在你想要知道，一共有多少种方案可以击败 Dark。注意，就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截，你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。

题解：

每条附加边（x,y）都把树上x,y之间路径的每条边覆盖了一次。我们只需要统计每一条主要边被覆盖了多少次。

如果第一步把被覆盖0次的主要边切断，则第二步可以任意切断一条附加边。若第一步把覆盖一次的主要边切断，则第二步方法唯一。若第一步把被覆盖两次及以上的主要边切断，第二步就无解。

综上，我们要解决的问题是：给定一张无向图和一颗生成树，求每条树边被非树边覆盖了多少次。

做法是树上差分。我们给树上每个结点一个初始为0的权值，然后对每条非树边x,y，令x，y的权值加一，LCA(x,y)的权值减二，最后对这棵树进行一次DFS，求出F(x)表示以x为根的子树中个节点的权值之和，F(x)就是x与它父亲结点之间的树边被覆盖的次数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=2e5+100;
int N,M;
int head[maxn];
int tol;
struct node {
    int u;
    int v;
    int w;
    int next;
}edge[maxn]; 
void addedge (int u,int v) {
    edge[tol].u=u;
    edge[tol].v=v;
    edge[tol].next=head[u];
    head[u]=tol++;
}
int d[maxn];
int h[maxn];
int father[20][maxn];
void dfs (int x) {
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].v;
        if (v==father[0][x]) continue;
        father[0][v]=x;
        h[v]=h[x]+1;
        d[v]=d[x]+edge[i].w;
        dfs(v);
    }
}
int lca (int x,int y) {
    if (h[x]<h[y]) swap(x,y);
    for (int i=17;i>=0;i--) 
        if (h[x]-h[y]>>i) x=father[i][x];
    if (x==y) return x;
    for (int i=17;i>=0;i--) {
        if (father[i][x]!=father[i][y]) {
            x=father[i][x];
            y=father[i][y];
        }
    }
    return father[0][x];
}

int weight[maxn];
int f[maxn];
int visit[maxn];
void dfs2 (int u) {
    visit[u]=1;
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].v;
        if (!visit[v]) dfs2(v),f[u]+=f[v];
    }
}
int main () {
    while (~scanf("%d%d",&N,&M)) {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        tol=0;
        memset(h,0,sizeof(h));
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(father,0,sizeof(father));
        memset(weight,0,sizeof(weight));
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        for (int i=0;i<N-1;i++) {
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            addedge(u,v);
            addedge(v,u);
        }
        dfs(1);
        for (int i=1;i<=17;i++)
            for (int j=1;j<=N;j++) 
                father[i][j]=father[i-1][father[i-1][j]];

        for (int i=0;i<M;i++) {
            int x,y;
            scanf("%d %d",&x,&y);
            f[x]++,f[y]++,f[lca(x,y)]-=2;
        }
        int ans=0;
        dfs2(1);
        for (int i=2;i<=N;i++) {
            if (f[i]==0) ans+=M;
            if (f[i]==1) ans++;
        }
        printf("%d
",ans); 
    }
    return 0;
}