蒟蒻の并查集学习总结

定义

一种方便查找的树形结构，善于解决很多复杂的查找问题

并查集适合维护具有非常强烈的传递性质，或者具有 连通集合性质，传递性质和 连通集合性质。

基本操作

$find(x)$:寻找结点x的父结点

$merge(x,y)$:合并x和y至一棵树

模板

$Code1$：初始化

void init(){//假设所有的点都没有子节点
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;//fa数组用于存放结点的父结点
	}
} 

$Code2$：$find$函数

int find(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;//如果x没有子节点，则直接返回
	}else{
		return fa[x]=find(fa[x]);//反之，递归寻找x的父结点，并进行记忆化（将目前搜索到的父结点存进fa[x]）
	}
}

$Code3$：$merge$函数

void merge(int x,int y){
	int dx=find(x);
	int dy=find(y);
	if(dx!=dy){
		fa[dx]=dy;
	}
}

$Code4$：完整并查集代码（具体题面见P3367 【模板】并查集）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[200010];
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
} 
int find(int x){
	if(fa[x]==x)return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
	int r1,r2;
	r1=find(x);    
	r2=find(y);    
	fa[r1]=fa[r2]; 
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	init();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,z;
		cin>>z>>x>>y;
		if(z==1){
			merge(x,y);
		}else{
			int w1,w2;
			w1=find(x);
			w2=find(y);
			if(w1==w2){
				cout<<"Y
";
			}else{
				cout<<"N
";
			}
		}
	}
	return 0;
}

例题

一、P1551 亲戚

由题意可得：

x、y是亲戚，y、z是亲戚，那么x、z就是亲戚

这就是一个明显的树形结构（见图1-1）,

但是直接用树，时间复杂度和空间复杂度难免十分大（因为在树内查找需要使用递归遍历，容易爆栈）。

这时候并查集就发挥了巨大的作用

思路：

先将fa数组初始化，然后处理输入的m组亲戚关系，每输入一组亲戚关系，就将亲戚关系放进相应的并查集内。

最后处理输入的p组询问，每输入一组询问，就判断这两个点是否在一个并查集内，是则输出“Yes”，反之输出“No”。

$Tip$:这是一道并查集的新手入门模板题qwq

$Code$：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,p,x,y;
int fa[5010];
int find(int x){
	if(fa[x]==x)return x;
	else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
	int dx=find(x);
	int dy=find(y);
	if(dx!=dy){
		fa[dx]=dy;
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>x>>y;
		merge(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=p;i++){
		cin>>x>>y;
		if(find(x)==find(y)){
			cout<<"Yes
";
		}else{
			cout<<"No
";
		}
	}
	return 0;
}

二、智算之道初赛第二场 - 青少组

T3 情报站（部分借鉴自智算之道-第二场初赛-题解）

题目描述

现在我方已经查明，敌人通信所使用的加密方式依赖于一个长度为 $n$ 的数列，只要得知了这个数列中每个数的值，我方便可破解敌方的通信。
通过深入敌人内部的内线人员的艰苦奋斗，我方逐渐获得了一些有用的情报，通过这些情报，整个数列正在被不断地破解。
先后有 $m$ 条情报被得知，每条情报是以下两种情况之一：

情况 $1$：知道了数列中第 $x$ 个数的值
情况 $2$ ：知道了数列中第 $x$ 个数和第 $y$ 个数的和

每得知一条情报，我方都试图破解数列中元素的值
作为情报部门核心技术人员的你，请编程实现如下功能：每次得知一条新情报，你都要计算当前已经能够确定出数列中的多少个数了
你比较笨，对于情况 2 这种情报，只能在已知其中一个数的情况下推出另一个数，不能通过若干情况 2 的情报列方程求解

输入格式

第一行，两个正整数 $n,m$
接下来 $m$ 行，每行的第一个数是 $type$

如果 $type=1$，则接下来跟着一个整数 $x$，表示得知了数列中第 $x$ 个数的值；
如果 $type=2$，则接下来跟着两个空格隔开的整数 $x,y$，表示得知了第 $x$ 个数和第 $y$ 个数的和

输出格式

输出 $m$ 行，每行包含一个非负整数，第 $i$ 行的非负整数表示在得知了前 $i$ 条情报之后数列中已经能够确定的数的数量

数据规模与约定

对于 $20\%$ 的数据，$1\le n,m\le 10$，且只有第一种情报
对于 $50\%$ 的数据，$1\le n,m\le 5000$
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 3\times 10^5$
可能会有重复的情报，也可能出现 $x=y$ 的情况

样例输入

5 4
1 1
1 2
2 2 3
2 1 3

样例输出

1
2
3
3

---

思路

如果$type=1$，$x$所属的集合的所有元素都能得到结果，上次的答案加上该集合的大小即是这次的答案

如果$type=2$, 就把$x$和$y$所属的集合并起来，如果有一个集合答案已知，答案则加上另一集合的大小

$Code$：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool vis[300005];
int fa[300005];
int size[300005];
int n,m,ans;
int type,x,y;
void init(int n){
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        fa[i] = i;
        size[i] = 1;
    }
}
int find(int x){
    if (fa[x] != x){
        fa[x] = find(fa[x]);
    }
    return fa[x];
}
void merge(int x,int y){
	fa[fx] = fy;
    size[fy] += size[fx];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init(n);
    while (m--){
        scanf("%d", &type);
        if (type == 1){
            scanf("%d", &x);
            int fx = find(x);
            if (!vis[fx]){
                vis[fx] = true;
                ans += size[fx];
            }
        }else if (type == 2){
            scanf("%d%d", &x, &y);
            if (x == y && !vis[x]){
                int fx = find(x);
                if (!vis[fx]){
                    vis[fx] = true;
                    ans += size[fx];
                }
            }else{
                int fx = find(x), fy = find(y);
                if (fx != fy){
                    if (vis[fx] && !vis[fy]){
                        ans += size[fy];
                        vis[fy] = true;
                    }else if (!vis[fx] && vis[fy]){
                        ans += size[fx];
                        vis[fx] = true;
                    }
                    merge(fx,fy);
                }
            }
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}