蒟蒻の分治算法总结

分治算法定义

将一个问题分解成多个子问题，将问题缩小到一定规模后逐个求解，最后合并所有子问题

分治算法步骤

1. 分解（将原问题分解成一个形式相同规模更小的子问题）
2. 解决（递归求解子问题，直到问题的规模足够小，直接求解）
3. 合并（合并子问题的解，得到原问题的解）

分治算法例题（实际应用）

插入排序

思路

一道十分普通的$O(n^2)$时间复杂度题，使用类似打扑克牌时给牌排序的分治思想递归实现即可

即：

先给n-1张牌排序，再分成给n-2张牌排序，以此类推…

直到只剩1张牌，则直接结束

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[110];
void insert_sort(int a[],int n){
    //1.基本情况 
    if(n==1)return;
    //2.分解子问题 
    //3.解决子问题 
    insert_sort(a,n-1);
    int tmp=a[n],i; 
    for(i=n-1;i>=1;i--){
        if(a[i]>tmp){
            a[i+1]=a[i];
        }else{
            break;
        }
    }
    a[i+1]=tmp;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    insert_sort(a,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",a[i]);
    }
    return 0;
}

归并排序

思路

这道题的数据范围加大，不能再用$O(n^2)$算法解决，会导致TLE；故我们可以用归并排序解决

  Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[110],b[110];
void merge(int a[],int l,int mid,int r,int t[]){
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(a[i]<=a[j])t[k++]=a[i++];
        else t[k++]=a[j++];
    }
    while(i<=mid)t[k++]=a[i++];
    while(j<=r)t[k++]=a[j++];
    for(i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i];
}
void merge_sort(int a[],int l,int r,int t[]){
    //1.基本情况 
    if(l==r)return;
    //2.分解子问题 
    int mid=(l+r)>>1;
    //3.解决子问题 
    merge_sort(a,l,mid,t);
    merge_sort(a,mid+1,r,t);
    //4.合并子问题的解 
    merge(a,l,mid,r,t);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    merge_sort(a,1,n,b);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",a[i]);
    }
    return 0;
}

快速排序

思路

使用$O(n\log n)$时间复杂度的快速排序，具体步骤看下图

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100010];
void quick_sort(int a[],int l,int r){
    //1.基本情况 
    if(l==r)return;//可省略
    //2.分解子问题 
    int i=l,j=r,mid=a[l+rand()%(r-l+1)];
    while(i<=j){
        while(a[i]<mid)i++;
        while(a[j]>mid)j--;
        if(i<=j){
            swap(a[i],a[j]);
            i++;
            j--;
        }
    }
    //3.解决子问题 
    if(l<j)quick_sort(a,l,j);
    if(i<r)quick_sort(a,i,r);
    //4.合并子问题的解 
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    quick_sort(a,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",a[i]);
    }
    return 0;
}