【转】透视矩阵详解

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概述

投影变换完成的是如何将三维模型显示到二维视口上，这是一个三维到二维的过程。你可以将投影变换看作是调整照相机的焦距，它模拟了为照相机选择镜头的过程。投影变换是所有变换中最复杂的一个。

视锥体

视锥体是一个三维体，他的位置和摄像机相关，视锥体的形状决定了模型如何从camera space投影到屏幕上。最常见的投影类型-透视投影，使得离摄像机近的物体投影后较大，而离摄像机较远的物体投影后较小。透视投影使用棱锥作为视锥体，摄像机位于棱锥的椎顶。该棱锥被前后两个平面截断，形成一个棱台，叫做View Frustum，只有位于Frustum内部的模型才是可见的。

透视投影的目的

透视投影的目的就是将上面的棱台转换为一个立方体（cuboid），转换后，棱台的前剪裁平面的右上角点变为立方体的前平面的中心（下图中弧线所示）。由图可知，这个变换的过程是将棱台较小的部分放大，较大的部分缩小，以形成最终的立方体。这就是投影变换会产生近大远小的效果的原因。变换后的x坐标范围是[-1, 1]，y坐标范围是[-1, 1]，z坐标范围是[0, 1]（OpenGL略有不同，z值范围是[-1, 1]）。

透视投影矩阵推导

下面来推导一下透视投影矩阵，这样我们就可以自己设置投影矩阵了，就可以模拟神奇的D3DXMatrixPerspectiveLH函数的功能了。那么透视投影到底做了什么工作呢？这一部分算是个难点，无论是DX SDK的帮助文档，还是大多数图形学书籍，对此都是一带而过，很少有详细讨论的，早期的DX SDK文档还讨论的稍微多一些，而新近的文档则完全取消了投影矩阵的推导过程。

我们可以将整个投影过程分为两个部分，第一部分是从Frustum内一点投影到近剪裁平面的过程，第二部分是由近剪裁平面缩放的过程。假设Frustum内一点P（x,y,z）在近剪裁平面上的投影是P'（x',y',z'），而P'经过缩放后的最终坐标设为P''(x",y",z")。假设所求的投影矩阵为M，那么根据矩阵乘法可知，如下等式成立。

PM=P''，即

先看第一部分，为了简化问题，我们考虑YOZ平面上的投影情况，见下图。设P（x, y, z）是Frustum内一点，它在近剪裁平面上的投影是P'（x', y', z'）。（注意：D3D以近剪裁平面作为投影平面），设视锥体在Y方向的夹角为Θ。

 由上图可知，三角形OP'Q'与三角形OPQ相似，于是有如下等式成立。

在看第二部分，将P'缩放的过程，假设投影平面的高度为H，由于转换后cuboid的高度为2。所以有

又因为投影平面的纵横比为Aspect，所以

最后看z''，当Frustum内的点投影到近剪裁平面的时候，实际上这个z'值已经没有意义了，因为所有位于近剪裁平面上的点，其z'值都是n，看起来我们甚至可以抛弃这个z'值，可以么？当然不行！别忘了后面还有深度测试呢。由第一幅图可知，所有位于线段p'p上的点，最终都会投影到p'点，那么如果这条线段上真的有多个点，如何确定最终保留哪一个呢？当然是离观察这最近的这个了，也就是深度值（z值）最小的。所以z'坐标可以直接保存p点的z值。因为在光栅化之前，我们需要对z坐标的倒数进行插值（原因请参见Mathematics for 3D Game Programming and Computer Grahpics 3rd section 5.4），所以可以将z''写成z的一次表达式形式，如下

在映射前，z的范围是[n,f]，这里n和f分别是近远两个剪裁平面到原点的距离，在映射后，z''的范围是[0,1]，将数据代入上面的一次式，可得下面的方程组

解这个方程组得到

所以

整理一下得

将X'',y'',z''代入最开始的矩阵乘法等式中得

由上式可见，x'',y'',z''都除以了Pz,于是我们将他们再乘以Pz（这并不该变齐次坐标的大小），得到如下等式。

注意这里，x即Px，y即Py，z即Pz，解矩阵的每一列得到

于是所求矩阵为

代码

一般来说，在程序中我们通常给定四个参数来求透视投影矩阵，分别是y方向的视角，纵横比，近剪裁平面到原点的距离及远剪裁平面到原点的距离，通过这四个参数即可求出上面的矩阵，代码如下。

D3DXMATRIX BuildProjectionMatrix(float fov, float aspect, float zn, float zf)
{
    D3DXMATRIX proj;
    ZeroMemory(&proj, sizeof(proj));

    proj.m[0][0] = 1 / (tan(fov * 0.5f) *aspect) ;
    proj.m[1][1] = 1 / tan(fov * 0.5f) ;
    proj.m[2][2] = zf / (zf - zn) ;
    proj.m[2][3] = 1.0f; 
    proj.m[3][2] = (zn * zf) / (zn - zf);

    return proj ;
}

矩阵求解完毕，现在可以用如下代码试试效果，这和使用D3D函数D3DXMatrixPerspectiveFovLH所得效果是一致的。

D3DXMATRIX proj = BuildProjectionMatrix(D3DX_PI / 4, 1.0f, 1.0f, 1000);
g_pd3dDevice->SetTransform(D3DTS_PROJECTION, &proj) ;

Happy Coding!!!