本课程是为BICMR研究生数学基础强化班第五期开的一个课程。
上课时间: 每周二晚上6:00-9:00
上课地点: 数学中心甲乙丙楼82J12教室
教材：自写讲义
调和分析与非线性发展方程是现代数学的一个热点领域, 活跃着一批世界顶尖的数学家. 本课程旨在介绍近几十年来在色散PDE领域所发展的调和分析方法, 并介绍相关的前沿课题和进展. 内容将涵盖: 1. 调和分析基础(Fourier变换,极大函数,奇异积分算子,Littlewood-Paley理论,函数空间,振荡积分). 2. 非线性Schrodinger和波方程的局部/整体分析 (Strichartz估计,适定性,散色理论). 3.其他方程/系统的相关研究(optional)(KdV方程, 光滑效应空间, Bourgain空间).
先修课程: 本科生课程中的<实变函数>,<泛函分析>,<数学物理方程>, 掌握分布理论, $L^p$空间.
第一部分: 调和分析基础
1.1 Fourier变换
1.1.1 定义及性质
1.1.2 Fourier变换的应用
1.1.3 $L^p$上的Fourier乘子
1.2 Hardy-Littlewood极大函数
1.2.1 H-L极大算子的有界性
1.2.2 向量值极大函数
1.2.3 若干应用
1.3 Calder\'{o}n-Zygmund奇异积分理论
1.3.1 三代奇异积分
1.3.2 向量值奇异积分
1.4 Littlewood-Paley理论
1.4.1 二进制分解
1.4.2 Littlewood-Paley平方函数定理
1.5 函数空间
1.5.1 Besov, Triebel-Lizorkin空间
1.5.2 嵌入定理以及微分差分刻划
1.6 振荡积分
1.6.1 第一型振荡积分
1.6.2 第二型振荡积分