合并排序和堆排序的时间复杂度为O(nlgn),插入排序和冒泡排序的时间复杂度为O(n^2),高速排序的时间复杂度在平均情况下是O(nlgn),这些排序算法都是通过对元素进行相互比較从而确定顺序的,因此都叫比較排序。
比較排序能够看做是决策树(一个满二叉树)。由于每一次比較都是一个分支。n个元素的序列。其排序的结果有 n! 种可能(n个元素的全排)。所以这个决策树有 n! 个叶子结点。如果树的高度为h。则有:n! <= 2^h,所以h >= lg(n!) = Ω(nlgn)。一次比較排序就是从决策树的根节点走到叶节点,所以比較排序的时间复杂度为Ω(nlgn)。
而计数排序、基数排序和桶排序都是非比較排序,其时间复杂度为O(n)。可是这三种排序算法都不是原地排序。占用内存空间较多,而比較排序算法大多都是原地排序。
/* * 算法导论 第八章 线性时间排序 * 计数排序、基数排序和桶排序 */ #include <iostream> #include <cmath> #include <vector> #include <ctime> using namespace std; void printArray(int arr[], int len, char *str) { cout << str << endl; for (int i=0; i<len; i++) { cout << arr[i] << " "; } cout << endl; } int* countingSort(int *arr, int len, int k); int* radixSort(int *arr, int len, int d); int getDigit(int num, int d); int* bucketSort(int *arr, int len, int maxNum); int main() { int len = 30; int k = 10; srand(time(NULL)); int *arr = new int[len]; for (int i=0; i<len; i++) { arr[i] = rand() % k; } //计数排序 printArray(arr, len, "计数排序前数组"); int *result = countingSort(arr, len, k); printArray(result, len, "计数排序后数组"); delete[] result; //基数排序 for (int i=0; i<len; i++) { arr[i] = 100 + rand() % 500; } printArray(arr, len, "基数排序前数组"); result = radixSort(arr, len, 3); printArray(result, len, "基数排序后数组"); delete[] result; //桶排序 for (int i=0; i<len; i++) { arr[i] = rand() % 100; } printArray(arr, len, "桶排序前数组"); result = bucketSort(arr, len, 100); printArray(result, len, "桶排序后数组"); delete[] result; return 0; } /* * 计数排序 * 时间复杂度为O(n+k) * 使用计数排序须要在全部元素都在一个小的范围内,即k远小于n * 在k=O(n)时。时间复杂度为O(n) */ int* countingSort(int *arr, int len, int k) { int *numCount = new int[k](); int *result = new int[len]; //numCount中存储等于i的元素个数 for (int i=0; i<len; i++) { numCount[arr[i]]++; } //numCount中存储小于等于i的元素个数 for (int i=1; i<k; i++) { numCount[i] += numCount[i-1]; } //从后至前依次对元素进行排序,保证稳定性。也能够从前往后。可是排序就不稳定了 for (int i=len-1; i>=0; i--) { result[numCount[arr[i]]-1] = arr[i]; numCount[arr[i]]--; } delete[] numCount; return result; } /* * 基数排序 * 是建立在计数排序的基础之上的,计数排序的稳定性非常重要 * 否则基数排序就会出错,比如数组[27, 15, 43, 42],假设子排序过程不稳定 * 则结果就为[15, 27, 43, 42] * 时间复杂度为O(d*(n+k)),在d为常数,k=O(n)时,时间复杂度为O(n) */ int* radixSort(int *arr, int len, int d) { int *A = new int[len]; for (int i=0; i<len; i++) A[i] = arr[i]; for (int j=0; j<d; j++) { int k = 10; int *numCount = new int[k](); int *result = new int[len]; //numCount中存储等于i的元素个数 for (int i=0; i<len; i++) { numCount[getDigit(A[i], j)]++; } //numCount中存储小于等于i的元素个数 for (int i=1; i<k; i++) { numCount[i] += numCount[i-1]; } //从后至前依次对元素进行排序。保证稳定性,也能够从前往后,可是排序就不稳定了 for (int i=len-1; i>=0; i--) { result[numCount[getDigit(A[i], j)]-1] = A[i]; numCount[getDigit(A[i], j)]--; } delete[] A; delete[] numCount; A = result; } return A; } int getDigit(int num, int d) { return (num % (int)pow(10.0, d+1)) / pow(10.0, d); } /* * 桶排序 * 在输入符合均匀分布时,桶排序的效果较好 * 将各个元素分布在n个桶中。每一个桶内再使用插入排序 * 仅仅要各个桶的尺寸的平方和与总的元素数呈线性关系 * 则其时间复杂度就为O(n) */ int* bucketSort(int *arr, int len, int maxNum) { //建立n个桶 vector<int> *result = new vector<int>[len]; //将各个元素分布到各个桶内 for (int i=0; i<len; i++) { result[(int)((arr[i]/(double)maxNum)*len)].push_back(arr[i]); } for (int i=0; i<len; i++) { int n = result[i].size(); //插入排序 for (int j=1; j<n; j++) { int k = j - 1; int key = result[i][j]; while (k>=0 && result[i][k]>key) { result[i][k+1] = result[i][k]; k--; } result[i][k+1] = key; } } //合并各个桶中的元素 for (int i=0, j=0; j<len; j++) { int length = result[j].size(); for (int k=0; k<length; k++) { arr[i++] = result[j][k]; } } delete[] result; return arr; }
习题 8-3 排序不同长度的数据项
/* * 算法导论 习题8-3.a * 首先利用计数排序对数组按位数排序 * 然后再利用基数排序对各不同分组排序 * 时间复杂度为O(n) */ #include <iostream> #include <ctime> using namespace std; typedef int (*getCountKey)(int, int); void countSort(int *arr, int len, int k, getCountKey getCntKey, int arg=0); void radixSort(int *arr, int p, int r, int digitCnt); int getDigit(int num, int d); int getDigitCnt(int num, int arg=0); void printArray(int arr[], int len, char *str) { cout << str << endl; for (int i=0; i<len; i++) { cout << arr[i] << " "; } cout << endl; } int main() { int arr[] = {12, 8, 99, 90, 10, 3, 6, 7, 122, 100, 1000, 1340, 1200, 1802}; int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); int k = 1; for (int i=0; i<len; i++) { int temp = getDigitCnt(arr[i]); if (temp > k) { k = temp; } } k++; printArray(arr, len, "原数组"); countSort(arr, len, k, getDigitCnt); printArray(arr, len, "计数排序后"); int digitCount = getDigitCnt(arr[0]); int pos = 0; for (int i=0; i<len; i++) { int cnt = getDigitCnt(arr[i]); if (cnt != digitCount) { radixSort(arr, pos, i-1, digitCount); pos = i; digitCount =cnt; } else if (i == len-1) { radixSort(arr, pos, len-1, digitCount); } } printArray(arr, len, "基数排序后"); return 0; } void countSort(int *arr, int len, int k, getCountKey getCntKey, int arg) { int *arr1 = new int[len]; int *counts = new int[k](); for (int i=0; i<len; i++) { counts[getCntKey(arr[i], arg)]++; } for (int i=1; i<k; i++) { counts[i] += counts[i-1]; } for (int i=len-1; i>=0; i--) { arr1[counts[getCntKey(arr[i], arg)]-1] = arr[i]; counts[getCntKey(arr[i], arg)]--; } for (int i=0; i<len; i++) { arr[i] = arr1[i]; } delete[] counts; delete[] arr1; } void radixSort(int *arr, int p, int r, int digitCnt) { int len = r-p+1; int *result = new int[len]; for (int i=p; i<=r; i++) { result[i-p] = arr[i]; } int k = 10; for (int i=0; i<digitCnt; i++) { countSort(result, len, k, getDigit, i); } for (int i=p; i<=r; i++) { arr[i] = result[i-p]; } delete[] result; } int getDigit(int num, int d) { return (num % (int)pow(10.0, d+1)) / pow(10.0, d); } int getDigitCnt(int num, int arg) { num = num / 10; int digitCnt = 1; while (num) { num /= 10; digitCnt++; } return digitCnt; }
/* * 算法导论 习题8-3.b * 首先利用计数排序对数组按首位排序 * 然后数组依据字符串的首位不同而分组, * 各不同分组再递归的依据次高位计数排序 * 可是必须注意在排序过程中不断去掉长度较小的字符串 * 时间复杂度为O(n) */ #include <iostream> #include <ctime> #include <cstring> using namespace std; typedef int (*getCountKey)(char*, int); void countSort(char **str, int start, int end, int k, getCountKey getKey, int arg); int getLetterPos(char* str, int arg); void stringSort(char **str, int start, int end, int index); void printArray(char** arr, int len, char *str) { cout << str << endl; for (int i=0; i<len; i++) { cout << arr[i] << " "; } cout << endl; } int main() { char* str[] = {"fwse", "asd", "bes", "a", "ce", "hed", "wdr", "ccw", "cs", "cfe", "acb", "bb", "bbb"}; int len = 13; printArray(str, len, "原字符串数组"); stringSort(str, 0, len-1, 0); printArray(str, len, "排序后字符串数组"); return 0; } void stringSort(char **str, int start, int end, int index) { if (start == end) return; int k = 'a'+26-'A'+1; //首先依据首字母计数排序 countSort(str, start, end, k, getLetterPos, index); int pos = start; char letter = str[start][index]; for (int i=start; i<=end; i++) { char temp = str[i][index]; if (letter != temp && letter != '