• 最长递增子序列


    问题描写叙述

    找出一个数组中的最长递增子序列LIS(不一定连续,但顺序不能乱),如数组arr={5, 6, 7。 1, 2, 8},其最长递增子序列
    为{5,6,7,8}。长度为4。


    三种解法


    动态规划

    设以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度为L[i],则L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] },然后找出L[]数组中的最大值即为LIS的长度。
    int lis2(int arr[], int len)  
    {  
    	cout<<sizeof(arr)/sizeof(arr[0])<<endl;
        int *longest=new int[len];  
        for (int i=0; i<len; i++)  
            longest[i] = 1;  
      
        for (int j=1; j<len; j++) ////L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }
    	{  
            for (int i=0; i<j; i++) 
    		{  
                if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1)
    			{ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件,不能省略。  
                    longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度  
                }  
            }  
        }  
      
        int max = 0;  
        for (int j=0; j<len; j++) 
    	{  
            cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;  
            if (longest[j] > max) 
    			max = longest[j];  //从longest[j]中找出最大值  
        }  
    	delete longest;
    	longest=NULL;
        return max;  
    } 

    最长公共子序列

    找出数组arr[]与排序后的arr[]数组的最长公共子序列(LCS)即为最长递增子序列。由于LCS算法复杂度为
    O(len(A)*len(B)),所以该算法求LIS时间复杂度为O(n^2)。
    动态规划求LCS算法简单介绍:
    两个序列Xi,Yj;
    LCS[i,j]=0  when i=j=0;
    LCS[i,j]=LCS[i-1][j-1]+1, when X[i]==Y[j]
    LCS[i][j]=max{LCS[i-1][j],LCS[i][j-1]}, when X[i]!=Y[j]
    int cmp(const void *a,const void *b)
    {
    	return *(int*)a-*(int *)b;
    
    }
    int lis4(int *a,int len)
    {
    	int result=0;
    	int *tempArray=new int[len];//有序数组
    	for(int i=0;i<len;i++)
    		tempArray[i]=a[i];
    	qsort(tempArray,len,sizeof(int),cmp);//排序
    	//动态申请二维数组
    	int **LCS=new int*[len+1];
    	for(int i=0;i<len+1;i++)
    		LCS[i]=new int[len+1];
    	for(int i=0;i<len+1;i++)
    		for(int j=0;j<len+1;j++)
    			LCS[i][j]=0;
    	for(int i=1;i<len+1;i++)//求LCS
    	{
    		for(int j=1;j<len+1;j++)
    		{
    			if(a[i-1]==tempArray[j-1])
    				LCS[i][j]=LCS[i-1][j-1]+1;
    			else if(LCS[i-1][j]>LCS[i][j-1])
    				LCS[i][j]=LCS[i-1][j];
    			else
    				LCS[i][j]=LCS[i][j-1];
    		}
    	}
    	result=LCS[len][len];
    	delete []tempArray;
    	for(int i=0;i<len;i++)
    		delete []LCS[i];
    	delete []LCS;
    	return result;
    }


    O(NlgN)算法

    如果存在一个序列d[1..9] ={ 2,1 ,5 。3 ,6。4, 8 ,9, 7}。能够看出来它的LIS长度为5。

    用一个动态增长的数组B,B[i](i从1開始,最大为数组d的长度。当d是有序数组时。

    )表示当前相应长度为i的LIS的最小末尾。即全部的长度为i的递增序列arr中,B[i]=min{全部的arr[i]}。如长度为3的递增序列能够是{1,3,6}、{1,3,4},则B[3]=4。这样数组B是一个有序序列。
    以下一步一步试着找出它。

    方法:遍历数组d。不断跟新数组B。当遍历到d[j]时,d中以d[j]结尾的最长递增子序列的长度一定是将d[j]插入B中的位置,由于B中记录了当前相应各个长度的最小末尾。


    我们定义一个序列B。然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。


    此外,我们用一个变量Len来记录如今最长算到多少了

    首先,把d[1]有序地放到B里。令B[1] = 2,就是说当仅仅有1一个数字2的时候。长度为1的LIS的最小末尾是2。

    这时Len=1

    然后。把d[2]有序地放到B里。令B[1] = 1。就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了。非常easy理解吧。

    这时Len=1

    接着,d[3] = 5,d[3]>B[1]。所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5。非常easy理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

    再来,d[4] = 3。它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,由于1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样非常easy推知。长度为2的LIS最小末尾是3,于是能够把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

    继续。d[5] = 6,它在3后面。由于B[2] = 3, 而6在3后面。于是非常easy能够推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是非常easy理解吧? Len = 3 了噢。

    第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就能够把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

    第7个, d[7] = 8,它非常大。比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

    第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

    最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间。所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

    于是我们知道了LIS的长度为5。

    注意,这个1,3,4,7,9不是LIS,它仅仅是存储的相应长度LIS的最小末尾

    有了这个末尾,我们就能够一个一个地插入数据。尽管最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义。可是假设后面再出现两个数字 8 和 9,那么就能够把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

    然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,并且是进行替换而不须要挪动——也就是说,我们能够使用二分查找。将每个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就减少到了O(NlogN)~!

    代码例如以下(代码中的数组B从位置0開始存数据):

    <span style="font-weight: normal;">int lis3(int *array, int n)  //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求
    {  
    </span><span style="font-weight: normal;">    int *B=new int[n];
        int len = 1; //B的初始长度 
        B[0] = array[0];  
        int i, pos = 0;  
      
        for(i=1; i<n; ++i)  //遍历数组array
        {  
            if(array[i] > B[len-1]) //假设大于B中最大的元素,则直接插入到B数组末尾  
            {  
                B[len] = array[i];  
                ++len;  
            }  
            else  
            {  
                pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找须要插入的位置  
                B[pos] = array[i];  //改动B[pos],</span><span style="color:#ff0000;">这里是改动不想一般的做插入操作</span><span style="font-weight: normal;">
            }  
        }  
      
        return len;  
    }  
      
    //改动的二分查找算法。返回数组元素须要插入的位置。

    int BiSearch(int *b, int len, int w) { int left = 0, right = len - 1; int mid; while (left <= right) { mid = left + (right-left)/2; if (b[mid] > w) right = mid - 1; else if (b[mid] < w) left = mid + 1; else //找到了该元素。则直接返回 return mid; } return left;//数组b中不存在该元素,则返回该元素应该插入的位置 }</span>








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