定义
p是质数，而且gcd(a,p)=1（a,p互质）,那么有
ap−1≡1mod(p)
证明
准备知识
- 剩余类：对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。
- 简化剩余系（也叫既约剩余系）：模n的值与n互质的所有剩余类中。从每一类中各任取一数所组成的数的集合，叫做模n的一个简化。也叫缩系。
- 全然剩余系：从模n的每一个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合。叫做模n的一个全然剩余系。
剩余系定理2：有整数a，b，c，m为正整数。且gcd(m,c)=1, 则当ac≡bcmod(m)时，有a≡bmod(m).
- 证明：
- ac≡bcmod(m) =>
- (a−b)c≡0mod(m) => （由于gcd(c,m)=1,所以(a−b)为m的倍数）
- (a−b)≡0mod(m)
- a≡bmod(m)
剩余系定理7：有一个整数m，且m>1,b是一个整数。且gcd(m,b)=1。假设a1,a2,…,am是模m的一个全然剩余系，那么有ba1,ba2,…,bam是相同是模m的一个全然剩余系。
- 证明：
- 若存在bai≡bajmod(m)
- 那么依据剩余系定理2可知，ai≡ajmod(m)
- 又由于ai，aj同属于一个全然剩余系，所以不会有同余的情况。
证明过程
- 构造素数p的既定剩余系：1，2，…,p−1
- 由于gcd(a,p)=1,所以依据定理7：a，2a，…,(p−1)a也是素数p的一个既定剩余系。
- 那么就有1∗2∗⋯∗(p−1)≡1∗2∗⋯∗(p−1)∗ap−1modp
- 即ap−1≡1mod(p)
应用
- 用来求amod(p)时的逆元，即ap−2.
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