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Softmax理解之margin - 王峰的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/52108088
在了解如何引入 margin 之前，我们首先要知道为何要加margin。在SVM时代，margin （以下称作间隔）被认为是模型泛化能力的保证，但在神经网络时代使用的最多的损失函数 Softmax 交叉熵损失中并没有显式地引入间隔项。从第一篇和第三篇文章中我们知道通过 smooth 化，可以在类间引入一定的间隔，而这个间隔与特征幅度和最后一个内机层的权重幅度有关。但这种间隔的大小主要是由网络自行调整，并不是我们人为指定的，网络自行调整的间隔并不一定是最优的。实际上为了减小损失函数的值，margin 为零甚至 margin 为负才是神经网络自认为正确的优化方向。
此外，在人脸认证、图像检索、重识别任务中，是通过特征与特征之间的距离来判断两个样本的相似度的。因此我们一般不使用整个网络模型，而是将最后的分类层丢掉，仅仅使用模型提取特征。例如下图的一个二分类问题：
红色点和绿色点可以被一条分界线很好地分开，作为一个分类模型，这条分界线的表现很不错，识别率100%。但如果要进行特征比对任务，这个模型就远远不够精确了：从图上我们可以看到，分界线两侧的两个点之间的距离（黄色箭头）可能会远小于类内的最大距离（蓝色箭头）。所以使用分类器来训练特征比对任务是远远不够的，我们必须将类间的间隔拉得更大，才能保证“类间距离大于类内距离”这一目标。
可以这么说：度量学习（特征比对）是比分类更难的问题。至于究竟难多少，SphereFace这篇文章的 Property 3 指出，度量学习比分类困难3倍。当然说一个问题比另一个问题困难几倍这种说法本身就不太科学，大家有个大致的概念即可，不要过于纠结这个数字。
下面就来谈谈如何提高间隔。在我们这个系列的第一篇文章中，使用了如下优化目标：
输出C个分数，使目标分数比最大的非目标分数更大。
其对应的损失函数为：
。
参考 hinge loss，引入间隔项：
，
这个损失函数的意义是：
输出C个分数，使目标分数比最大的非目标分数还要大 m。
这里的m由我们手动进行调节，m 越大，则我们会强行要求目标与非目标分数之间拉开更大的差距。但注意到，如果我们不限制分数 的取值范围，那网络会自动优化使得分数
整体取值都非常大，这样会使得我们所设置的 m 相对变小，非常不便。
因此我们需要使用第三篇文章中提到的归一化方法，让分数 由余弦层后接一个尺度因子 s 来得到。这样我们就可以手动控制分数
的取值范围，以方便设置参数 m。
于是损失函数变为：
，
这里的 s 看似是一个冗余项，损失函数乘以一个常数并不影响其优化。但因为我们后面要将这个损失函数 smooth 化，所以这里仍然保留着 s 项。接下来使用第一篇文章中的 smooth 技巧，将损失函数化为：
。
因为这里的 m 与分数 之间是加减的关系，所以我们称这个损失函数为“带有加性间隔的 Softmax 交叉熵损失函数”。
这个损失函数中有两个参数，一个 s 一个 m。其中 s 的设置参照第三篇文章，其实只要超过一定的阈值就可以了，一般来说需要设置一个最小值，然后让 s 按照正常的神经网络参数的更新方式来更新。对于 m 的设置目前还需要手动调节，下一篇文章会介绍一些自动设置的方法，但效果还是不如调参师手工调整的好。
下面给大家直观地展示一下两个参数的效果，因为我们对特征和类向量进行了 归一化，所以特征和类向量全部分布在单位球上。我随便训练了一个MNIST模型，取出最后10个类向量，然后遍历整个球上的点，计算每个点所对应的最高概率值。由于Softmax交叉熵损失的定义为概率值的负对数，所以通过概率值我们就能够（间接地）看出损失函数的表面形状。
在不加间隔，即 时，不同的 s 会产生不同的边界形状：
s 越小，边界变化会越平缓。这样会使得每个类的点更加向类中心收拢，其实也可以起到一定的增加类间间隔的作用。但根据第三篇文章，过小的 s 会带来近似不准确的缺点，所以通过缩小 s 来增加间隔并不是一个好方法。想要添加类间间隔当然还是直接显式地添加比较好。
在 的基础上添加间隔项 m 的效果如下：
对比这张图和上边的(c)图，可以看到每个类别所占据的区域减小了，样本只有落在红色区域内才被认为是分类正确的。从这张图上可以看出，由于限制了特征空间在单位球上，添加间隔项 m 可以同时增大类间距离并缩小类内距离。而且这个间隔可以由我们来手动调节，在过拟合严重的数据集上，我们可以增加 m 来使得目标更难，起到约束的作用，从而降低过拟合效应。