【机器学习】Softmax 和Logistic Regression回归Sigmod

【机器学习】Softmax 和Logistic Regression回归Sigmod

二分类问题Sigmod

　　在 logistic 回归中，我们的训练集由 $extstyle m$ 个已标记的样本构成： ${ (x^{(1)}, y^{(1)}), ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$ ，其中输入特征 $x^{(i)} in Re^{n+1}$ 。（我们对符号的约定如下：特征向量 $extstyle x$ 的维度为 $extstyle n+1$ ，其中 $extstyle x_0 = 1$ 对应截距项。）由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} in {0,1}$ 。假设函数(hypothesis function) 如下：

$egin{align} h_ heta(x) = frac{1}{1+exp(- heta^Tx)}, end{align}$

我们将训练模型参数 $extstyle heta$ ，使其能够最小化代价函数：

$egin{align} J( heta) = -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)})) ight] end{align}$

多分类问题

在一个多分类问题中，因变量y有k个取值，即。例如在邮件分类问题中，我们要把邮件分为垃圾邮件、个人邮件、工作邮件3类，目标值y是一个有3个取值的离散值。这是一个多分类问题，二分类模型在这里不太适用。

　　主要应用就是多分类，sigmoid函数只能分两类，而softmax能分多类，softmax是sigmoid的扩展。

　　Logistic函数只能被使用在二分类问题中，但是它的多项式回归，即softmax函数，可以解决多分类问题。

　　在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $extstyle y$ 可以取 $extstyle k$ 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ${ (x^{(1)}, y^{(1)}), ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }$ ，我们有 $y^{(i)} in {1, 2, ldots, k}$ 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）　

　　对于给定的测试输入 $extstyle x$ ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 $extstyle p(y=j | x)$ 。也就是说，我们想估计 $extstyle x$ 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 $extstyle k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $extstyle k$ 个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数 $extstyle h_{ heta}(x)$ 形式如下：

$egin{align} h_ heta(x^{(i)}) = egin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; heta) \ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; heta) \ vdots \ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; heta) end{bmatrix} = frac{1}{ sum_{j=1}^{k}{e^{ heta_j^T x^{(i)} }} } egin{bmatrix} e^{ heta_1^T x^{(i)} } \ e^{ heta_2^T x^{(i)} } \ vdots \ e^{ heta_k^T x^{(i)} } \ end{bmatrix} end{align}$

　　其中 $heta_1, heta_2, ldots, heta_k in Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $frac{1}{ sum_{j=1}^{k}{e^{ heta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

　　为了方便起见，我们同样使用符号 $extstyle heta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $extstyle heta$ 用一个 $extstyle k imes(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $heta_1, heta_2, ldots, heta_k$ 按行罗列起来得到的，如下所示：

$heta = egin{bmatrix} mbox{---} heta_1^T mbox{---} \ mbox{---} heta_2^T mbox{---} \ vdots \ mbox{---} heta_k^T mbox{---} \ end{bmatrix}$

代价函数

$extstyle 1{$ 值为假的表达式 $extstyle }=0$ 。举例来说，表达式 $extstyle 1{2+2=4}$ 的值为1 ， $extstyle 1{1+1=5}$ 的值为 0。我们的代价函数为：

$egin{align} J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }} ight] end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

$egin{align} J( heta) &= -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)})) + y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) ight] \ &= - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=0}^{1} 1left{y^{(i)} = j ight} log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta) ight] end{align}$

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 k 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 x 分类为类别 $extstyle j$ 的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta) = frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $extstyle J( heta)$ 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

$egin{align} abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} left( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta) ight) ight] } end{align}$

让我们来回顾一下符号 " $extstyle abla_{ heta_j}$ " 的含义。 $extstyle abla_{ heta_j} J( heta)$ 本身是一个向量，它的第 $extstyle l$ 个元素 $extstyle frac{partial J( heta)}{partial heta_{jl}}$ 是 $extstyle J( heta)$ 对 $extstyle heta_j$ 的第 $extstyle l$ 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $extstyle J( heta)$ 。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $extstyle heta_j := heta_j - alpha abla_{ heta_j} J( heta)$ ( $extstyle j=1,ldots,k$ ）。

当实现 softmax 回归算法时，我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $extstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $extstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

$egin{align} h_ heta(x) &= frac{1}{ e^{ heta_1^Tx} + e^{ heta_2^T x^{(i)} } } egin{bmatrix} e^{ heta_1^T x } \ e^{ heta_2^T x } end{bmatrix} end{align}$

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 $extstyle psi = heta_1$ ，并且从两个参数向量中都减去向量 $extstyle heta_1$ ，得到:

$egin{align} h(x) &= frac{1}{ e^{vec{0}^Tx} + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } egin{bmatrix} e^{ vec{0}^T x } \ e^{ ( heta_2- heta_1)^T x } end{bmatrix} \ &= egin{bmatrix} frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ frac{e^{ ( heta_2- heta_1)^T x }}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } end{bmatrix} \ &= egin{bmatrix} frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ 1 - frac{1}{ 1 + e^{ ( heta_2- heta_1)^T x^{(i)} } } \ end{bmatrix} end{align}$

因此，用 $extstyle heta'$ 来表示 $extstyle heta_2- heta_1$ ，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $extstyle frac{1}{ 1 + e^{ ( heta')^T x^{(i)} } }$ ，另一个类别概率的为 $extstyle 1 - frac{1}{ 1 + e^{ ( heta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。

广义线性模型

linear，Logistic，Softmax 都是一个东西推导出来的。
这些分布之所以长成这个样子，是因为我们对y进行了假设。
当y是两点分布-------->linear model
当y是正态分布-------->Logistic model
当y是多项式分布-------->Softmax

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归#Softmax.E5.9B.9E.E5.BD.92.E4.B8.8ELogistic_.E5.9B.9E.E5.BD.92.E7.9A.84.E5.85.B3.E7.B3.BB
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原文地址：https://www.cnblogs.com/zeze/p/6940497.html

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