• 背包九讲


    一 01背包:

    一件物品只能放一次

    二维动态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

    降低空间复杂度用一维: dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]), j 从V到0(为了防止数组越界,到w[i])

    代码实现:

    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 100;
    int dp[MAX],w[MAX],v[MAX];
    int n,m;
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1; i <= n ; i++){
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        }
        for(int i = 1; i <= n ; i++){
            for(int j = m; j >= w[i]; j--){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        printf("%d
    ",dp[m]);
      return 0;
    }
    01背包

    二 完全背包:

    一件物品能放无限次

    二维动态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i])

    降低空间复杂度用一维:dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]),不过j从0到V(为了防止数组越界,从w[i]开)

    也可以看做m/(w[i])个物品,继续看成01背包问题,价值和重量都放大2^k次

    代码实现:

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 100;
    int dp[MAX],w[MAX],v[MAX];
    int n,m;
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1; i <= n ; i++){
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        }
        for(int i = 1; i <= n ; i++){
            for(int j = w[i]; j <= m; j++){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        printf("%d
    ",dp[m]);
      return 0;
    }
    完全背包

    三 多重背包:(hdu2191)

    限定了每一件物品的适用次数

    法一:

    结合01背包和完全背包讨论情况

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 1111;
    int dp[MAX],w[MAX],v[MAX],t[MAX];
    int n,m;
    void comback(int w,int v)
    {
        for(int i = w; i <= n ; i++)
            dp[i] = max(dp[i],dp[i-w]+v);
    }
    void oneback(int w,int v)
    {
        for(int i = n ; i >= w; i--)
            dp[i] = max(dp[i],dp[i-w]+v);
    }
    int main()
    {
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--){
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            scanf("%d%d",&n,&m);
            for(int i = 1; i <= m ; i++){
                scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&t[i]);
                if(w[i]*t[i] >= n) comback(w[i],v[i]);
                else {
                    for(int j = 1; j < t[i]; j <<= 1){
                        oneback(j*w[i],j*v[i]);
                        t[i] -= j;
                    }
                    oneback(t[i]*w[i],t[i]*v[i]);
                }
            }
            printf("%d
    ",dp[n]);
        }
        return 0;
    }
    多重背包

    法二:

    转化成01背包问题,把每一种放大(二进制)    

    主函数型写法

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 1111;
    int dp[MAX],v[MAX],w[MAX],t[MAX];
    int V[MAX],W[MAX];
    int main()
    {
        int n,m,T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--){
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            memset(v,0,sizeof(v));
            memset(w,0,sizeof(w));
            memset(t,0,sizeof(t));
            scanf("%d%d",&m,&n);
            int count = 1;
            for(int i = 1; i <= n ; i++){
                scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&t[i]);
                for(int j = 1; j < t[i]; j <<= 1){
                    V[count] = j*v[i];
                    W[count] = j*w[i];
                    count++;
                    t[i] -= j;
                }
                    V[count] = t[i]*v[i];
                    W[count] = t[i]*w[i];
                    count++;
            }
            for(int i = 1; i < count; i++){
                for(int j = m; j >= W[i];j--){
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-W[i]]+V[i]);
                    }
                }
            printf("%d
    ",dp[m]);
            }
            return 0;
    }
    多重背包

    函数型写法(推荐)

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 50010;
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    int dp[50010];
    int w[110],num[110];
    int n,m;
    void oneback(int w,int v){
        for(int i =  MAX ; i >= w; i--)
            dp[i] = min(dp[i],dp[i-w]+v);
    }
    void comback(int w,int v){
        for(int i = MAX+w ; i>= 0; i--)
            dp[i] = min(dp[i],dp[i-w]+v);
    }
    int multiplepack()
    {
        int k ;
        for(int i = 1; i <= MAX; i++)
            dp[i] =inf;
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= 2*n;i ++){
            if( i <= n){
                 k = 1;
                while(k < num[i]){
                    oneback(k*w[i],k);
                    num[i] -= k;
                    k*= 2;
                }
                oneback(num[i]*w[i],num[i]);
            }
            else 
                comback(-w[i-n],1);
        }
        if(dp[m] == inf)
            return -1;
        else return dp[m];
    }
    int main()
    {
        while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            for(int i = 1; i <= n ; i++)
                scanf("%d",&w[i]);
            for(int i = 1; i <= n ; i++)
                scanf("%d",&num[i]);
            printf("%d
    ",multiplepack());
        }
        return 0;
    }
    View Code

    四 多重 01 完全混合

    五 二维条件的背包

    只需要多开一个条件 dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-a[i]][k-b[i]]+w[i])

    六 分组的背包问题

    多开一个for循环

    for(int k = 1; k <= n ;k++){
        for(int j = m; j >= 0 ; j--){
            for(int i = 1 ; i <= a[k]; i++){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    分组背包
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int MAX = 110;
    int dp[MAX];
    int a[MAX][MAX];
    int w[MAX],v[MAX];
    int main()
    {
        int n,m;
        while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m){
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            memset(a,0,sizeof(a));
            memset(w,0,sizeof(w));
            memset(v,0,sizeof(v));
            for(int i = 1;i <= n ; i++){
                for(int j = 1; j <= m ; j++)
                    scanf("%d",&a[i][j]);
            }
            for(int i = 1; i <= n ; i++){
                for(int j = m; j >= 0 ; j--){
                    for(int k = 1; k <= j;k++){
                        dp[j] = max(dp[j],dp[j-k]+a[i][k]);
                    }
                }
            }
            printf("%d
    ",dp[m]);
        }
        return 0;
    }
    hdu1712

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