[专题总结] 二分搜索专题

1.1从有序数组中查找某值

    //数组长 目标值
    int n, k;

    int arr[n];

    void solve() 
    {
        sort(arr, arr + n);

        int fst = -1, lst = n, mid;

        while(lst - fst > 1)
        {
            mid = (fst + lst) / 2;
            
            if(arr[mid] >= k) //解范围(fst,mid]
                lst = mid;
            else              //解范围(mid, lst]
                fst = mid;
        }

        return lst;
        //此时 fst + 1 = lst
    }

STL关于二分的应用

    STL

    lower_bound(begin, end, key)
    //从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字
    //找到返回该数字的地址，不存在则返回end。
    //通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

    upper_bound(begin, end, key)
    //从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字
    //找到返回该数字的地址，不存在则返回end。
    //通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。
    
    lower_bound(begin, end, num, greater<type>())
    //从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于或等于num的数字
    //找到返回该数字的地址，不存在则返回end。
    //通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

    upper_bound(begin, end, num, greater<type>())
    //从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于num的数字
    //找到返回该数字的地址，不存在则返回end。
    //通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。
    


    sort(num, num + 6, cmp);                      
    //按从大到小排序
    int posa =lower_bound(num, num + 6, 7, greater<int>()) - num;  
    //返回数组中第一个小于或等于被查数的值 
    int posb =upper_bound(num, num + 6, 7, greater<int>()) - num;  
    //返回数组中第一个小于被查数的值 

[51nod] 1001 数组中和等于K的数对

[51nod] 1080 两个数的平方和

[模板] 结构体使用CMP SORT 二分 的技巧 (重载) 应用51nod 四个数和为零

1.2假定解并判断是否可行

https://vjudge.net/problem/POJ-1064

大意：切K段长度相同的绳子求最大长度

C(x) = (floor(L/x))的总和是否 >= K

double t;
int n, k;
double arr[MAXN];
bool judge(double x)
{
	int ret = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) {

		ret += floor(arr[i] / x);
	}
	return ret >= k;
}

int main() {

	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 0; i < n; i++) {

		scanf("%lf", &arr[i]);
	}
	double fst = 0.0, lst = 1010101010.0, mid;
	for(int i = 0; i < 100; i++) {
		
		mid = (fst + lst) / 2;
		if(judge(mid)) 
			fst = mid;
		else
			lst = mid;
	}
	printf("%.2f", floor(fst * 100) / 100);
    return 0;
}

在无法准确确定结束范围时，可按次数不断逼近 100次可达到10^-30的精度

或使用(lst - fst) > EPS，但EPS不可太小,容易死循环。

1.3最大值最小化

    void solve()
    {
        sort(arr, arr + n);

        int fst = 0, lst = INF, mid

        while(lst - fst > 1)
        {
            mid = (fst + lst) / 2;
            if(judge(mid))
                fst = mid;
            else
                lst = mid;
        }
        
        return fst;
    }

 [二分] [POJ] 2456 Aggressive cows

[二分答案][洛谷] P1316 丢瓶盖

复杂度大概在 O(n*logn)

1.4最大化平均值

现有n物的重价是W和V,选k物使得单位重量价值最大

double wei[MAXN];
double val[MAXN];
double jud[MAXN];

int n, m;

bool cmp(double a, double b)
{
    return a > b;
}

bool judge(double x)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        jud[i] = val[i] - x * wei[i];

    sort(jud, jud + n, cmp);

    double rs = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        rs += jud[i];
    
    return rs >= 0;
}

int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
    	for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf%lf", &wei[i], &val[i]);

	    double fst = 0.0, lst = 1010101010.0, mid;
	    for(int i = 0; i < 100; i++) 
	    {
	        mid = (fst + lst) / 2.0;
	        if(judge(mid))
	            fst = mid;
	        else
	            lst = mid;
	    }
	    printf("%.2lf
", lst);
	}
    return 0;
}

V[0]+V[1]+V[2]+...+V[n-1]             n种物品的总价值

X * (W[0]+W[1]+W[2]+...+W[n-1]) 所猜测的单位价值为x时的总价值

V[0] - X*W[0]

V[1] - X*W[1]

V[2] - X*W[2]
......
排序之后取前k种最大的值相加

(V[n-1]+V[n-2]+..V[n-k]) = S1 与 X*(W[n-1]+W[n-2]+...W[n-k]) = S2 相比较

如果S1 >= S2 说明X的值还不够大，S1 < S2,说明X太大了