Educational Codeforces Round 100 (Rated for Div. 2) 题解(A-E)

AC代码

A. Dungeon

记每7次攻击为一轮，那么如果要满足给定条件，那么必须要有$a + b + c = 0 ext{ mod 9} $。

其次，假设结束时经历了(t = frac{a + b + c}{9})轮，则必须要有(t ge min(a, b, c))。

满足以上两个要求则YES，否则NO。

B. Find The Array

挺有意思的一道构造题。

构造方法1

首先要注意到1是可以被任何数整除的。根据这个性质，就可以每隔1个位置就放一个1，这样构造必定可以满足条件2。

剩下的位置为了最小化条件3中的(sum_i^n |a_i - b_i|)，就令(b_i = a_i)。这样构造还保证了满足条件1。

这样一来，可以生成两种(b)：([1, a_2, 1, a_4, ...])和([a_1, 1, a_3, 1, ...])。记前者为(b1)，后者为(b2)。

那么有：

[S_1 = sum_{i = 1}^n |a_i - b1_i|\S_2 = sum_{i = 1}^n |a_i - b2_i|\S_1 + S_2 = sum_{i = 1}^n (a_i - 1) = S - n ]

由此可以得出：(2 cdot S_1 le S)和(2 cdot S_2 le S)中必有一个成立（可以用反正法证明）。

这样条件3也满足了。

构造方法2

记(k)为使(2^k < a_i)成立的最大的(k)，可以让(b_i)等于(2^k)和(2^{k+1})中离(a_i)更近的那个。

这样，就有(|a_i - b_i| le 2^{k - 1} le frac{a_i}{2})，从而满足题目所给条件。

C. Busy Robot

这题就是一道模拟，有一说一没那么好写。

如果机器人正在执行某个命令，那么执行这个命令的开始时间(st)，结束时间(ed)，起点(cur)和重点(nxt)都算是已知。

• 依次执行命令
  • 如果(t_i ge ed)那么这个命令是有效的
    • (st = t_i)
    • 结束时间等于当前时间加上路程除以时间，即(ed = t_i + abs(x_i - cur))
    • (cur = nxt)
    • (nxt = x_i)
  • 判断当前命令是否成功
    • ([t_i, t_{i+1}])这段时间能走过的点构成的区间([l, r])是可以求出来的
    • 然后判断(x_i)是否在这个区间内就可以了

注意，这道题要用64位整型。如果使用32位整型，那么如果(t_n = 10^9)且此时刻位于(10^9)，且(x_n = -10^9)，这样就算令(t_{n+1} = 2^{32} - 1)，也会令程序误判最后一道指令为不成功。

D. Pairs

如果要得出(b)至少要使用(need\_ma)次取最大和(need\_mi)次取最小，那么剩下的次数就是任意可用的，而总共有(n + 1)种可能取值，所以满足条件的取值就等于(n + 1 - need\_ma - need\_mi)。

现在只需要求出(need\_mi)和(need\_ma)。以下以(need\_mi)为例：

• 因为(b)是升序排序的，所以从左至右遍历(b)，令(delta)为未被使用的数。
  • ((b_{i - 1}, b_i))之间的数以及前面未被使用的数，这些都可以用来作为取最大值的令一个参数，和(b_i)一起使用而得出(b)。即(delta += b_i - b_{i - 1} - 1)。
  • 如果当前没有可以用来作为取最大的的参数，则必须要使用一次取最小操作。即(need\_ma =need\_ma + 1)。
  • 否则，则消耗一个未被使用的数。即(delta = delta - 1)。

同理可以求解(need\_ma)。

E. Plan of Lectures

这题很容易就能想到是拓扑排序。

根据题目条件可以得出有向边((p[i], i))构成的图是一颗树，其次((x_i, y_i))构成多条链或者环。

为了满足(y_i)接在(x_i)之后，可以将一条链上的点都缩到一个点上，遇到链首，就把整条链都加进答案，那么这道题就可以转化为经典拓扑排序。