定义
$largeinom nk$ ：$n$ 个不同物品选取其中 $k$ 个物品的不同方案数，也可以写成 $C_n^k$。
组合数的阶乘形式
如果要知道求组合数的公式，那么要从排列数说起。
排列数：从 $n$ 个不同物品中有顺序地选出 $k$ 个物品，那么不同方案数为：
$$prod_{i=n-k+1}^n i$$
写成阶乘的形式：
$$frac{n!}{(n-k)!}$$
这很好理解，就是先从 $n$ 个物品中挑选出一个物品，再从剩余 $n-1$ 个物品再挑选另一个，……，最后在所剩的 $n-k+1$ 个物品中再挑一个物品，利用乘法原理可以求出如上方案数。
组合数与排列数的差异在于，组合数的选取方案是没有顺序的，所以组合数的计算方式就是排列数除以挑选 $k$ 个物品的不同排列个数 $k!$。
所以组合数可以和阶乘展开式互相转换：
$$inom nk = frac{n!}{k!;(n-k)!}$$
组合数恒等式
$$1.;inom nk = inom{n}{n-k}$$
这个恒等式可以这样理解：你有 $n$ 个物品要丢掉 $k$ 个，等同于在 $n$ 个物品中留下 $n-k$ 个的方案数。
$$2.;inom n k = inom {n-1}k + inom{n - 1}{k - 1}$$
计算过程如下：
egin{aligned}
inom nk &= frac{n!}{k!(n-k)!}\
\
&=frac{ncdot(n-1)!}{k! (n-k)!}\
\
&=frac{(n-k)cdot(n-1)!}{k!(n-k)!}+frac{k cdot (n-1)!}{k! (n-k)!} \
\
&= frac{(n-1)!}{k! (n-k-1)!}+frac{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}\
\
&= inom {n-1}{k}+ inom {n-1}{k-1}
\
end{aligned}
$$3.;inom n k = frac{n}{k} inom{n-1}{k-1}$$