Burnside和Polya

orz

不懂 没搞好 我屑

轨道稳定子定理

设 (A) 、 (B) 为有限集合， (X=B^A) 表示所有从 (A) 到 (B) 的映射。

(G) 是 (A) 上的置换群，(|G|) 是 (G) 中元素个数。

(forall xin X,G^x={g|g(x)=x,gin G},G(x)={g(x)|gin G})

其中 (G^x) 称为 (x) 的稳定子，(G(x)) 称为 (x) 的轨道，则有

[|G|=|G^x|· |G(x)| ]

Burnside​ 引理

(X/G) 表示 (G) 作用在 (X) 上产生的所有等价类的集合（若 (X) 中的两个映射经过 (G) 中的置换作用后相等，则它们在同一等价类中）。

(X/G) 其实就是对于所有 (xin X) 不同轨道的集合。这些轨道必定是不交的。因此我们也将 (|X/G|) 叫做 (X) 关于 (G) 的轨道数。

(X^g={x|xin X,g(x)=x}) ，我们称 (X^g) 是 (X) 在置换 (g) 下的不动点集合。

则：

[|X/G|=frac 1 {|G|} sum_{gin G} |X^g| ]

文字描述：(X) 关于置换群 (G) 的轨道数，等于 (G) 中每个置换下不不动点的个数的算术平均数。

举例

以给立方体染色为例，则柿子中的符号解释：

• (A:) 立方体6个面的集合
• $B: $ 3种颜色的集合
• $X: $ 直接给每个面染色（不考虑本质不同的方案）的集合，共有 (3^6) 种
• $G: $ 各种翻转操作构成的置换群
• $X/G: $ 本质不同的染色方案的集合
• (X^g:) 对于某种翻转操作 (g) ，所有直接染色的方案中，经过 (g) 这种翻转后保持不变的染色方案的集合。

(G) 中存在的置换：

• 不动 (|X^g|=3^6)

• 相对面中心连线为轴 (90°) 旋转。

  相对面 (3) 种，旋转方向 (2) 种，(6) 种置换，只有非选中相对面颜色都一样才能是的不变。对应了 (|X^g|=3^3)

• 相对面中心连线为轴 (180°) 旋转。

  相对面 (3) 种，(3) 和置换，只有非选中相对面的相对面颜色都一样才能是的不变。对应了 (|X^g|=3^4)

• 相对棱中心连线为轴 (180°) 旋转。

  (6) 种选择。

  (|X^g|=3^3)

• 相对顶点中心连线为轴 (120°) 旋转。

  相对顶点 (4) 种选择。旋转方向 (2) 种。

  (8) 种选择。

  (|X^g|=3^2)

因此所有本质不同方案数为

[frac 1 {1+6+3+6+8} (3^6+6 imes 3^3 +3 imes 3^4+6 imes 3^3+8 imes 3^2)=57 ]

证明

[|X/G|\ =sum_{Yin X/G} 1\ =sum_{Yin X/G} sum_{xin Y} frac 1 {|Y|}\ =sum_{Yin X/G} sum_{xin Y} frac 1 {|G(x)|}\ =sum_{xin X} frac 1 {|G(x)|}\ 根据轨道稳定子定理，我们有 |G|=|G^x|·|G(x)| ，\ =frac 1 {|G|} sum_{xin X} frac {|G|} {|G(x)|}\ =frac 1 {|G|} sum_{xin X} {G^x}\ =frac 1 {|G|} {(x,g)|g(x)=x,(x,g)in X imes G}\ =frac 1 {|G|} sum_{gin G} |X^g|\ ]

Pólya​ 定理

是 (Burnside) 的特殊形式。

[|x/G|=frac 1 {|G|} sum_{gin G} |B|^{c(g)} ]

(c(g)) 表示 (g) 拆出的不相交轮换数量。

证明：

在 Burnside 引理中，(g(x)=x) 的充要条件是 (x) 将 (g) 中每个轮换内的元素都映射到了 (B) 中的同一个元素。所以 (|X^g|=|B|^{c(g)}) 。

只有 (X=B^A) 时，Pólya​才成立