划分树 详解

转自  https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80030929

看了一些博客，感觉有些博客对建树写的挺好，但是对于查询区间却一笔带过。在看懂了之后决定自己写一篇，加深自己的理解，也希望对正在学习划分树的人能够有所帮助。
如有错误，敬请大佬指出。

进入正题：

有这样一类题目，求的是区间内的第k大数。

划分树的定义就是对整体的区间进行划分，把相对于原来序列中较小的值放在左子树，较大的放在右子树，最后按照它的性质进行查询以此找到要查询的区间里的第k大数。

例图（图是偷的~~~）

1.建树
建树是一个不停递归的过程
第一步：首先我们要根据排序后的数组找到当前层数的中值（中值即中位数。注意，是中位数，不是中间的数），将没有排序的序列（即输入的原序列）里面的数这样安排：小于中位数的放进左子树，大于等于中位数的放进右子树。当然了，这是针对中值只有唯一一个时候的做法，一会再说多个中值应该怎么处理。

第二步：对于每一个子区间，我们都采用第一步的方法去划分，直到左右区间相等的时候，即为终止递归的条件。

第三步：在我们向左子树里放数的时候，我们还要统计出区间 [left,right ] 里有多少个数进入了左子树（这个主要用于查询操作）。

在划分树的时候，有几点需要注意：
1.建树是分层的，所以我们要用二维数组去存储，第一维只需要20就够了，因为100000的数据量的话，它的层数为logN。
2.划分的标准是中值，在第一步里已经特别强调过。
3.划分的数永远存放在它的下一层，为什么呢？下面举个例子模拟一下过程就知道了。

那么下面先列出我们要用到的数组：

const int MAXL(1e5);
int tree[20][MAXL+50];//第一维代表当前的树的层数，
                      //第二维代表这一层经过划分后的序列值
int toLeft[20][MAXL+50];//第一维代表当前的树的层数，
                      //第二维代表当前层区间[left,right]进入左子树的数目
int sorted[MAXL+50];//将初始序列排序后的数组

按照图中给出的原始序列为

4 2 5 7 1 8 3 6

排序后的序列为

1 2 3 4 5 6 7 8

那么我们tree [ 0 ]保存的应该是原始序列
并且得到toLeft [ 0 ] 的序列

tree[0]  = 4 2 5 7 1 8 3 6
toLeft[0]= 1 2 2 2 3 3 4 4

再次强调一遍
toLeft [ i ] [ j ] 存的是 第 i 层，当前划分区间【 left , right 】里进入左子树的个数
至于为什么要这么存，一会说查询的时候就知道了。

模拟一下划分过程
首先是第一层，找到中值4 （ sorted[ ( left + mid) / 2 ] ）
那么tree [ 1 ] 和toLeft [ 1 ] 应该是

tree[1]=   4 2 1 3      5 7 8 6
toLeft[1]= 0 1 2 2      1 1 1 2

可能这里有人注意到问题了，为什么把4划分到了左区间？上面不是说大于等于中值的划分到右区间吗？ 别急-

第二层，分别对左子树和右子树按照上述的方法划分

tree[2]=   2 1    4 3      5 6    7 8
toLeft[2]= 0 1    0 1      1 1    1 1 

在这里再啰嗦地解释一下这一组的toLeft数组
很明显这一组的 2 1 4 3 5 6 7 8
分别在左 右 左 右 子树
那么对于左子树里的 2 1这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1
对于右子树 4 3 这个小区间，进入下一层左子树的数分别为 0 1
…
…
第三层

tree[3]=   1 2 3 4 5 6 7 8
toLeft[3]= 0 0 0 0 0 0 0 0

下面开始说另外一个要注意的问题：有多个中值怎么办？

因为我们要使得左右区间的数量尽可能的均等
所以在这里，我们用一种特殊的处理方法。

在还没有进行划分之前，我们先假设中值左边的数据都小于中值。
即 设置一个suppose = mid - left + 1。
如果当前的数小于中值,就使suppose减一，即

if(tree[level][i]<sorted[mid]
    suppose--;

如果结果如我们假设的那样，那么suppose最后一定等于1，否则，就说明中值的数量不唯一。那么在下面进行的时候，如果还剩suppose>1，就先把中值放在左子树，直到suppose为0，如果仍还有中值，就把剩下的放进右子树。
通过这样操作，就能均分左右子树了。

再举个例子增深理解：
3 3 4 4 4 5 7
中值为4，左子树要放4个（(1+7)/2），右子树放3个
处理后的suppose为2
那么遇到第一个4，放进左子树，suppose=1;
遇到第二个4，放进左子树，suppose=0；
遇到第三个4,这时suppose已经等于0，所以放进右子树。

终于可以上建树的代码了

void Build_tree(int level,int left,int right)//level为当前层
{
    if(left==right)//左右区间相等为终止条件
        return ;
    int mid=(left+right)>>1;//除以2
    int suppose=mid-left+1;//设定suppose的初值
    for(int i=left; i<=right; i++)
        if(tree[level][i]<sorted[mid])//处理suppose
            suppose--;
    int subLeft=left,subRight=mid+1;//进入下层左右子树的下标
    for(int i=left; i<=right; i++)
    {
        if(i==left)//初始化
            toLeft[level][i]=0;
        else//初始化
            toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
        if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
        {//这就是上面说的处理多个中值的情况，放在一起了
            tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i];//将数放在下一层
            toLeft[level][i]++;//进入左子树的数目+1
            if(tree[level][i]==sorted[mid])
                suppose--;//继续处理suppose
        }
        else//进入右子树
            tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
    }
    Build_tree(level+1,left,mid);//递归
    Build_tree(level+1,mid+1,right);//递归
}

在建好树之后，接下来就是查询的问题。
假设初始大区间为【left , right】，要查询的区间为【qLeft , qRight】
现在要查询区间【qLeft , qRight】的第k大数

我们的想法是，先判断【qLeft , qRight】在【left , right】的哪个子树中，然后找出对应的小区间和k，然后递归查找，直到小区间qLeft==qRight时为止。

那如何解决这个问题呢？这时候前面记录的进入左子树的元素个数就派上用场了。通过之前的记录可以知道，在区间【left , qLeft】中有toLeft [ level ] [ qLeft - 1 ] 个元素进入了左子树，记它为lef，同理，在区间【left , qRight】中有toLeft [ level ] [ qRight ] 个元素进入了左子树，记它为rig ， 所以在区间【qLeft , qRight】之间就有 rig - lef 个元素进入了左子树，记为 toLef。 如果 toLef>= k ，说明 第k大元素肯定进入了左子树，那么就进入左子树查找，否则进入右子树查找。

那么接下来要解决确定小区间的问题：

如果进入的是左子树，那么小区间就应该是
【 left +( [ left,qLeft-1] )进入左子树的数目，left +（ [ left,qRight ] ）进入左子树的数目-1】
即：【 left + lef , left + lef + tolef-1 】,并且，这时候k的值不用变化。

如果进入的是右子树，那么小区间就应该是
【 mid +( [ left,qLeft-1] )进入右子树的数目+1，mid +（ [ left,qRight ] ）进入右子树的数目】
即：【 mid + qLeft - left -lef + 1 , mid + qRight - left - toLef - lef + 1 】
同时，这里的k要发生变化，变为k-（【qLeft , qRight】进入左子树的元素个数）
即 k-toLef

其中mid = ( left + right ) / 2

这里的区间式子很长，需要仔细思考。

下面举个例子（又是偷的图~~~）

献上查询的代码

//[qLeft,qRight]为查询的区间，[left,right]为原始区间
int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k)
{
    int mid=(left+right)>>1;
    if(qLeft==qRight)//终止条件
        return tree[level][qLeft];
    int lef;//lef 代表[left,qLeft]进入左子树的个数
    int toLef;//toLeft代表[qLeft,qRight]进入左子树的个数
    if(qLeft==left)//如果和原始区间重合
        lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
    else
        lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
    if(k<=toLef)//进入左子树
    {
        int newLeft=left+lef;
        int newRight=left+lef+toLef-1;
        return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
    }
    else//进入右子树
    {
        int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
        int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
        return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
    }
}

好了，说的也差不多了。
接下来就是一个模板题
poj2104

hdu2665
这个加了一个T组样例

poj2104 AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<utility>
#include<list>
#include<algorithm>
#define max(a,b)   (a>b?a:b)
#define min(a,b)   (a<b?a:b)
#define swap(a,b)  (a=a+b,b=a-b,a=a-b)
#define memset(a,v)  memset(a,v,sizeof(a))
#define X (sqrt(5)+1)/2.0  //Wythoff
#define Pi acos(-1)
#define e  2.718281828459045
#define eps 1.0e-8
using namespace std;
typedef long long int LL;
typedef pair<int,int>pa;
const int MAXL(1e5);
const int INF(0x3f3f3f3f);
const int mod(1e9+7);
int dir[4][2]= {{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
int tree[20][MAXL+50];
int toLeft[20][MAXL+50];
int sorted[MAXL+50];
void Build_tree(int level,int left,int right)
{
    if(left==right)
        return ;
    int mid=(left+right)>>1;
    int suppose=mid-left+1;
    for(int i=left; i<=right; i++)
        if(tree[level][i]<sorted[mid])
            suppose--;
    int subLeft=left,subRight=mid+1;
    for(int i=left; i<=right; i++)
    {
        if(i==left)
            toLeft[level][i]=0;
        else
            toLeft[level][i]=toLeft[level][i-1];
        if(tree[level][i]<sorted[mid]||tree[level][i]==sorted[mid]&&suppose>0)
        {
            tree[level+1][subLeft++]=tree[level][i];
            toLeft[level][i]++;
            if(tree[level][i]==sorted[mid])
                suppose--;
        }
        else
            tree[level+1][subRight++]=tree[level][i];
    }
    Build_tree(level+1,left,mid);
    Build_tree(level+1,mid+1,right);
}

int Query(int level,int qLeft,int qRight,int left,int right,int k)
{
    int mid=(left+right)>>1;
    if(qLeft==qRight)
        return tree[level][qLeft];
    int lef;
    int toLef;
    if(qLeft==left)
        lef=0,toLef=toLeft[level][qRight];
    else
        lef=toLeft[level][qLeft-1],toLef=toLeft[level][qRight]-lef;
    if(k<=toLef)
    {
        int newLeft=left+lef;
        int newRight=left+lef+toLef-1;
        return Query(level+1,newLeft,newRight,left,mid,k);
    }
    else
    {
        int newLeft=mid+qLeft-left-lef+1;
        int newRight=mid+qRight-left-toLef-lef+1;
        return Query(level+1,newLeft,newRight,mid+1,right,k-toLef);
    }
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&tree[0][i]);
        sorted[i]=tree[0][i];
    }
    sort(sorted+1,sorted+n+1);
    Build_tree(0,1,n);
    while(m--)
    {
        int ql,qr,k;
        scanf("%d%d%d",&ql,&qr,&k);
        int ans=Query(0,ql,qr,1,n,k);
        cout<<ans<<endl;
    }
}