最长公共上升子序列

输入格式

第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。
第二行包含N个整数，表示数列A。
第三行包含N个整数，表示数列B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤N≤3000,序列中的数字均不超过2³¹−1

思路：

状态表示：f[i][j]表示A数组中的前i个元素以及B数组的前j个元素，且以B[j]结尾的最长公共上升子序列
状态计算：分情况讨论，当A[i]不包含在LICS中时，那么f[i][j] == f[i-1][j]
当A[i]包含在LICS中时，由于B[j]是结尾元素，那么一定有A[i]==B[j]，然后遍历1~j的所有元素k,当B[j] > B[k]时，f[i][j] == max(f[i][j], f[i-1][k] + 1)

Code: O(n³)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(a[i] == b[j])
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], 1);
                for(int k = 1;k < j;k++)
                    if(b[k] < b[j])
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][k] + 1);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans, f[n][i]);
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
} 

这个时间复杂度在3000的数据范围内很容易TLE，我们可以想办法优化一下，优化方法就是把比较的地方的b[j]换成a[i]

for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(a[i] == b[j])
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], 1);
                for(int k = 1;k < j;k++)
                    if(b[k] < a[i])
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][k] + 1);
            }
        }
    }

当换成a[i]后我们可以发现，最内层的循环与j没有什么关系,而这层循环求的就是f[i][k]的最大值 （1 <= k < j,且b[k] < a[i] (b[j])），那么我们可以用一个变量表示最大值

for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        int maxv = 0;
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv + 1);
            if(b[j] < a[i]) maxv = max(maxv,f[i][j]);
        }
    }

最后又发现在整个DP过程中，第一维是没有用的，可以优化掉，那么就得到了最终代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3010;

int a[N],b[N];
int f[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> b[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        int maxv = 0;
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(a[i] == b[j]) f[j] = max(f[j], maxv + 1);
            if(b[j] < a[i]) maxv = max(maxv,f[j]);
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans, f[i]);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}