更新日志
2021/12/25 创建了这个企划，并更新了 P1
最近看到了感觉很有趣并且也适合whk之余做做玩，而且我这方面的确也需要加强于是就来练练。但是看了整本练习题后没啥方向就先紧跟xyx步伐了。
The statements in each problem are to be proved combinatorially, in most
cases by exhibiting an explicit bijection between two sets. Try to give the
most elegant proof possible. Avoid induction, recurrences, generating func-
tions, etc., if at all possible.
只允许组合证明，大部分都需要用构建集合之间的双射来证明。请尽量用优雅的证明方式。不允许使用归纳，递归，生成函数
有关难度的解释：
- [1] 简单题
- [2] 中等难度
- [3] 难题
- [u] 未被解决的题
- [?] 不知道是否有组合证明的题
+/- 代表在难度上微调
Part One Elementary Combinatorics
1, [1]
The number of subsets of an n-element set is \(2^n\).
从这道简单题来介绍一下这些题的解题方法。
Proof. 即数不同的子集 \(A\) 的个数。构造一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 字符串 \(S\)，第 \(i\) 位 \(S_i=1\) 代表第 \(i\) 个数在 \(A\) 里。于是不同的 \(S\) 对应不同的 \(A\)，相同的 \(S\) 对应相同 \(A\)，即 \(S\to A\) 构成一个双射。数 \(A\) 的个数即为数 \(S\) 的个数。那么每个位置可以是 \(0\) 也可以是 \(1\)，根据乘法原理，总个数有 \(2^n\)。