数学——复数

1. 前置芝士：向量

1 数系扩充

考虑下面一个方程：$ax^2+bx+c=0(a != 0)$

我们知道如果$Delta = b^2 - 4ac < 0$的话是没有实数根的。为了解决这个问题，我们要将实数集进一步扩充，这就要引入复数的知识。

为了解决负数不能开平方的为题，我们要引进一个新的记号$i$，$i^2=-1$。称$i$为虚数单位。

我们把集合$C = {a+bi|a,b in R}$中的数称为复数。

复数通常用字母$z$来表示，即$z=a+bi$。称$a$为$z$的实部，记为$Re(z)$；$b$为$z$的虚部，记为$Im(z)$。

在复数集中任取两个数$z_{1} = a_{1} + b_{1}i, z_{2} = a_{2} + b_{2}i$，定义两个数相同当且仅当$a_{1} = a_{2}$ 且 $b_{1} = b_{2}$。

对于$z=a+bi$，当$a=0且b=0$时是实数$0$，当$a=0且b!=0$时是纯虚数，当$a!=0且b=0$时是实数，$b!=0$时是虚数。

注意：虚数是无序的，即不可比较大小，可以比较大小的复数是实数。

2 复数的表现形式

在$1$中我们介绍了向量的代数表现形式，接下来我们还会介绍几种表现形式。

复平面

复平面是一个二维平面，和普通的笛卡尔坐标系类似，不过$x$轴代表实部（称为实轴），$y$轴代表虚部（称为虚轴）。

几何形式

任何一个复数$z=a+bi$都一一对应到复平面上个一个点$(a,b)$。 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，其余的点表示虚数。

向量形式

任何一个复数$z=a+bi$都一一对应到一个平面向量$vec{OZ}(a,b)$。 向量$vec{OZ}$的模$r$叫做复数$z$的模记作$|z|$。

有以下一些性质：

1. $|z|=r=|a+bi|=sqrt{a^2+b^2}$
2. $|z|=0当且仅当z=0$
3. $|z|=|a+bi| geq max{|a|,|b|}$

三角形式

设复数$z=a+bi$在复平面上的点是$Z(a,b)$。设$|OZ|=r, angle{xOZ}= heta$。则复数可以表示为$r(cos{ heta}+isin{ heta})$。$ heta$称为辐角，若$0 leq heta < 2pi$则称为辐角主值。记作$ heta=Arg(z)$

复数的三角形式有很大的优越性，后面会讲到。

指数形式

定义复指数运算$e^{i heta}=cos heta+isin heta$，则$z=r(cos heta+isin heta)=re^{i heta}$。

证明需要用到高等数学的知识。

复数的运算

加减

两个复数的加（减）其实就是实部相加（相减），再虚部相加（相减）。

写作公式就是$z_1+z_2=a_1+b_1i pm a_2+b_2i=(a_1 pm a_2)+(b_1 pm b_2)i$。

还可以写作向量的形式：$vec{OZ_1}pmvec{OZ_2}=(a_1,b_1)pm(a_2+b_2)=(a_1pm a_2,b_1 pm b_2)$。

向量的加减满足交换律和结合律。

乘除

复数乘除的代数形式。

这两个复数分别为$z=a+bi, w=c+di$，有：

$z cdot w = (ac-bd)+(ad+bc)i$。

复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。

$z^n$表示$n$个$z$的乘积。

设$a+bi=(c+di) cdot (x+yi)=(cx-dy)+(cy+dx)i$，因为向量相等的充要条件是实部相等且虚部相等，所以有$cx-dy=a, cy+dx=b$。

解得：$x=frac{ac+bd}{c^2+d^2}, y=frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

即$frac{z}{w}=frac{a+bi}{c+di}=frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

学了共轭复数之后还有另一种推到方式。

共轭复数与复数的模

一般的我们称实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，即$a+bi$和$a-bi$互为共轭复数。

复数$z$的共轭复数记为$ar{z}$。

有如下一些性质：

1. 在复平面上关于实轴对称
2. $ar{z pm w}=ar{z} pm ar{w}$
3. $ar{z cdot w} = ar{z} cdot ar{w}$
4. $z cdot ar{z}=|z|^2=a^2+b^2(z=a+bi)$
5. $ar{(frac{x}{w})}=frac{ar{z}}{ar{w}}$
6. 若$|z|=1$则$ar{z}=frac{1}{z}$