[CodeForces 833B] The Bakery(数据结构优化dp)

题目大意

将一个长度为 $n$ 的序列分为 $k$ 段

使得总价值最大，一段区间的价值表示为区间内不同数字的个数。

$n leq 35000, k leq 50$。

Solution

线段树优化区间 $dp$ 好题。

我们先来想 $dp$ 部分。

考虑子状态 $dp[i][j]$ 代表前 $i$ 个值分成 $j$ 段所得大的最大价值。

则有 $dp[i][j]=max{dp[l][j-1]+val(l+1,i)}，0 leq l < i$。$val(x,y)$ 代表 $[x,y]$ 之间不同的数的个数。

而这样写的时间复杂度是 $O(n^2 imes k)$ 的。

我们考虑如何去优化它。

我们发现段数 $j$ 的值只与 $j-1$ 有关，所以我们不妨先枚举段数。

再来看我们的转移方程 “$dp[i][j]=max{dp[l][j-1]+val(l+1,i)}，0 leq l < i$。$val(x,y)$”，其实就是取一个区间最大值。

不过这里有一个 $val(l+1,i)$ 非常的讨厌。

我们来研究它的值。设当前值是 $a[i]$。

因为现在枚举的位置已经到 $i$，所以 $val(l+1,i-1)$ 的值是我们已知的。

如果区间 $[l+1,i-1]$ 内已经有 $a[i]$ 了，那么就不会产生贡献。我们记录 $a[i]$ 这个值上一次出现的位置记为 $pre[i]$。

那么只有属于 $[pre[i],i)$ 的 $l$ 的 $val(l+1,i)$ 相比 $val(l+1,i-1)$ 才会加 $1$。

接下来看如何用线段树维护。

其实很简单。

线段树上的节点 $[x, y]$（这里用区间来代表节点）存的就是所有 $l$ 属于 $[x,y]$ 的最大的 $dp[l][j-1]+val(l+1,i)$。

考虑现在枚举到 $i$，就把所有 $[pre[i],i)$ 的值加 $1$。转移就是 $[0,i)$ 中的最大值。

区间修改+区间查询搞定。

上代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct Segment{
    int val, tag;
}st[35010 << 2];
int n, k;
int a[35010];
int pre[35010], head[35010];
int dp[35010];
void push_down(int p) {
    if (st[p].tag) {
        st[p << 1].val += st[p].tag;
        st[p << 1].tag += st[p].tag;
        st[p << 1 | 1].val += st[p].tag;
        st[p << 1 | 1].tag += st[p].tag;
        st[p].tag = 0;
    }
}
void build(int p, int l, int r) {
    st[p].tag = 0;
    if (l == r) {
        st[p].val = dp[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(p << 1, l, mid);
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    st[p].val = max(st[p << 1].val, st[p << 1 | 1].val);
}
void change(int p, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l && r <= R) {
        st[p].tag++;
        st[p].val++;
        return;
    }
    push_down(p);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid) change(p << 1, l, mid, L, R);
    if (mid < R) change(p << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
    st[p].val = max(st[p << 1].val, st[p << 1 | 1].val);
}
int ask(int p, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l && r <= R) {
        return st[p].val;
    }
    push_down(p);
    int mid = (l + r) >> 1, ret = 0;
    if (L <= mid) ret = max(ret, ask(p << 1, l, mid, L, R));
    if (mid < R) ret = max(ret, ask(p << 1 | 1, mid + 1, r, L, R));
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = head[a[i]];
        head[a[i]] = i;
    }
    
    for (int j = 1; j <= k; j++) {
        build(1, 0, n);
        for (int i = j; i <= n; i++) {
            change(1, 0, n, pre[i], i - 1);
            dp[i] = ask(1, 0, n, 0, i - 1);
        }
    }
    cout << dp[n];
    return 0;
}