CF687B Remainders Game

 

题意：已知n个数,第i个为ci,给定一个数x mod ci的结果，再给点一个k,问能不能知道x mod k的值？

分析：刚看题目的我一脸蒙蔽，对题意有点不理解，能的情况似乎有很多，我该从哪里下手呢？

     先从不能的情况来看，可以知道，如果不能知道x mod k的值，当且仅当有两个解x1,x2, x1 ≡ x2(mod ci)x1 ≢ x2 (mod k) 左边这个是不同余的意思，

   为什么是这样的呢？因为题目中说x mod k的值是唯一的，我们却会出现两个满足题意的x值 mod k的值不同，这就矛盾了。

     那么我们怎样求解这两个同余式呢？如果x1 ≡ x2(mod ci),那么(x1 - x2) % ci = 0,所以x1 - x2一定是ci的最小公倍数的倍数，

    然后对第二个式子变形一下：(x1 - x2) % k != 0,也就是说k不整除lcm{ci}那么这道题就变成了要我们求解lcm{ci}到底是不是k的倍数。

     但是直接求会lcm会爆掉啊，如果取模的话涉及到除法要求逆元复杂度又会爆炸，该怎么处理？

     正确的方法是分解质因数：将k表示为p1^k1 * p2 ^ k2 * ... *pn ^ kn的形式，如果lcm{ci}是k的倍数，那么p1^k1、p2^k2...pn^kn一定会全部

出现在某些ci中，我们只需要在读入的时候检验一下打个标记就好了。一位大神说的对：lcm就是质因子的并集，gcd就是质因子的交集，

遇到gcd、lcm,分解一下质因子不失为一种好的方法。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>

using namespace std;

int n, k, c,tot,prime[100010];
bool vis[100010];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 2; i <= sqrt(k); i++)
    {
        if (k % i == 0)
        {
            int t = 1;
            while (k % i == 0)
            {
                t *= i;
                k /= i;
            }
            prime[++tot] = t;
        }
    }
    if (k)
        prime[++tot] = k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int c;
        scanf("%d", &c);
        for (int j = 1; j <= tot; j++)
            if (c % prime[j] == 0)
                vis[j] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
        if (!vis[i])
        {
        printf("No
");
        return 0;
        }
    printf("Yes
");

    return 0;
}