初级数论部分内容学习记录

以下内容仅为个人理解

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欧几里德算法(gcd)：

• 一种用来求最大公约数的算法
• 表示为gcd(a,b)
• 也可以用gcd算法求最大公约数(lcm)，lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)
• （为了防止程序运行时溢出，在实际使用时常常先除后乘，也就是lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b（由于乘除不分先后，所以该式成立））
• gcd的运算过程：gcd(a,b)=gcd(b,a%b).（a<b）.因为在a%b的不断循环运行过程中，a是不断递减的，所以不会出现死循环的情况.
• gcd的返回结果的条件：gcd(b,0)==b.也就是说，当方程gcd(a,b)递归到b=0时，说明a已经是此时的最大公约数了。那么就不需要再计算，直接返回a的值即可。映射到代码中的表现，就是如下代码：

int gcd(int a,int b){
    if(a<b)swap(a,b);
    if(b==0)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

• 通过一系列证明可以得出，在一般的数据范围下不会出现爆栈的情况.这是因为gcd(a,b)这个方法的递归层数是级别的.（n=max(a,b)） 

扩展欧几里德算法(exgcd)：

• 用于求解贝祖方程：形如ax+by=gcd(a,b)=d这样的方程,已知a,b，求x和y的值（通过数论的其他内容可以证明该方程一定成立（有解））.

贝祖定理：

• 对于形如的方程，假若（a,b为不等于零的整数），则存在相对应的(整数解x,y).

二元运算：

• 由两个元素产生一个新元素的运算，例如：加减乘除

卡尔丹公式：

• 三次方程的一般求法

加法逆元：

• 即"相反数".
• 如：a的加法逆元为-a

群：

• 代表一个满足封闭性、结合律，有单位元、逆元的二元运算的代数结构.

群论：

• 对群的研究

单位元：

• 定义一种运算规则"*"，若a*e=e*a=a,则e称为单位元.

自然数：

• N（大于等于0的整数）

合数：

• 指自然数中除了能被1和本身整除之外，还能被其他数(0除外)整除的数

质数（素数）：

• 在大于1的自然数中，除了1和它本身不能被其他数整除的数

因数（约数）：

• 如果整数a除以整数b(b0)没有余数，则b是a的因数.

极限：

• 无限靠近而达不到的值.

映射（双射）：

• 两种元素的集相互对应,等同于函数.