P5021 赛道修建[贪心]

$赛道修建$

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$mathcal{Description}$

给出一棵树, 在树上找出 $m$ 条路径, 路径之间不互相覆盖, 求出 最小边最大 的方案

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$mathcal{Solution}$

1. 主体思路

“最小边最大” 直接可以想到 二分答案 :

第一步, 二分 最小边权: $Mid$,

第二步, $check$ :

设当前节点为 $i$, 其子节点集合为 $son$, 为了凑成长度为 $Mid$ 的边, 有两种方法

1. $tmp_1∈son$ 到 $i$ 节点 合法路径 大于等于 $Mid$
2. $tmp_1, tmp_2 ∈ son$ 到 $i$ 节点 合法路径和 的长度 大于等于 $Mid$

上两种情况能够得到的合法路径 统统采用 !!!,

理由如下

假设不采用 $情况1$ 路径, 在往 $i$ 上面的节点采用, 则会浪费 $i$ 与其上面节点间的边权,

假设不采用 $情况2$ 路径, 在往 $i$ 上面的节点采用,

1. 此时可能因为上面的边权太小, 导致这 $2$ 条路径皆作废 ;
2. $i$ 上面的边权可以与两条边中较大的路径匹配, 另一条路径作废.

$情况2$: 与其让另一条路径作废, 不如省下 $i$ 上的某条边.

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2. 操作细节

接下来说明怎么正确地组合 $son$ 集合中传上来的最长路径:

1. 首先对于 $edge[i].w+w>=Mid$ 的路径, 直接 $Ans$++;

2. 然后选边时尽量选小的, 因为到后面还要将尽量大的值 往上传,
   于是每次取出最小的边 $w$, 在 $son$ 集合中 二分查找 $Mid - w$,

   1. 若找到则组合起来, $Ans$ ++, 否则直接 往上传 最大值.
   2. 否则迭代器 ++

选边过程可以使用 $multiset$ 维护 .

注意二分的右边界需要设为树的直径, 无脑设 $inf$ 会 $TLE$

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$mathcal{Code}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ c = getchar(); flag = -1; break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 50005;

int N;
int M;
int res;
int Ans;
int Mid;
int num0;
int head[maxn];

struct Edge{ int nxt, to, w; } edge[maxn<<1];

void Add(int from, int to, int w){
        edge[++ num0] = (Edge){ head[from], to, w };
        head[from] = num0;
}

int DFS(int k, int fa){
        std::multiset <int> Q;
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa) continue ;
                int tmp = DFS(to, k);
                if(edge[i].w + tmp >= Mid) res ++;
                else Q.insert(tmp+edge[i].w);
        }
        std::multiset<int>::iterator it, pos;
        if(!Q.empty()){
                it = Q.begin();
                while(Q.size() >= 2 && it != Q.end()){
                        pos = Q.lower_bound(Mid - *it);
                        if(pos == it) pos ++;
                        if(pos != Q.end()){
                                Q.erase(pos), Q.erase(it ++);
                                res ++;
                        } else  it ++;
                }
                return Q.size()?*(--Q.end()):0;
        }
        return 0;
}

int max_d, max_id;
void DFS_1(int k, int fa, int sum){
        if(max_d < sum) max_d = sum, max_id = k;
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa) continue ;
                DFS_1(to, k, sum+edge[i].w);
        }
}

int main(){
//        freopen("road.in", "r", stdin);
//        freopen("road.out", "w", stdout);
        N = read(), M = read();
        for(reg int i = 1; i < N; i ++){
                int u = read(), v = read(), w = read();
                Add(u, v, w), Add(v, u, w);
        }
        DFS_1(1, 0, 0), max_d = 0;
        DFS_1(max_id, 0, 0);
        int l = 1, r = max_d;
        while(l <= r){ 
                Mid = l+r >> 1;
                res = 0, DFS(1, 0);
                if(res >= M) Ans = std::max(Ans, Mid), l = Mid+1;
                else r = Mid-1;
        }
        printf("%d
", Ans);
        return 0;
}