优化 [Test, 动态规划]

$优化$

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$mathcal{Description}$

给定长度为 $N$ 的序列 ${a_i}$, 从中选出 $K$ 个 不相交区间, 从左到右记它们的和为 $s_1, s_2...s_n$,
请最大化下述合式
$sum_{i=1}^{k-1} s_i-s_{i+1}$

$N<=3*10^4, K <= min(N, 200)$

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$mathcal{Solution}$

$设 F[i, j, k]$ 表示前 $i$ 个数, 组成 $j$ 个区间, $(k =0,1,2,3)$ 的最优值

$k = 0$ 表示 选择 第 $i$ 个数, $A_{i-1} >= A_i <= A_i+1$, 最优值,
$k = 1$ 表示 选择或不选择 第 $i$ 个数, $A_{i-1} >= A_i<=A_i+1$, 最优值,
即 $0, 1$ 表示当前数比两边都小时的情况, 只会对答案造成 负贡献.

$k = 2$ 表示 选择 第 $i$ 个数, $A_{i-1} <= A_i >= A_{i+1}$, 最优值,
$k = 3$ 表示 选择或不选择 第 $i$ 个数, $A_{i-1} <= A_i >= A_{i+1}$ , 最优值.
即 $2, 3$ 表示当前数比两边都大时的情况, 只会对答案造成 正贡献.

则 $flag =2 - (j==1 || j==K)$
$F[i, j, 0] = max(F[i-1,j,0], F[i-1, j-1,3]) - flag*A_i\ \ F[i,j,1] = max(F[i,j,0], F[i-1,j,1]) \ \ F[i,j,2] = max(F[i-1,j,2],F[i-1,j-1,1]) + flag*A_i\ \ F[i,j,3] = max(F[i,j,2], F[i-1,j,3]) \ \$

$F[i,j,1] = max(F[i,j,1],F[i-1,j-1,1]) \ ag{flag>1} F[i,j,3]=max(F[i,j,3], F[i-1,j-1,3])$

紫色部分为 $状态的继承$

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$mathcal{Code}$

$std$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define reg register int 
#define rep(i, a, b) for (reg i = a; i <= b; i++) 

const int INF = 1e9, N = 30005, K = 205; 
const double eps = 1e-6, phi = acos(-1.0); 
ll mod(ll a, ll b) {if (a >= b || a < 0) a %= b; if (a < 0) a += b; return a;} 
ll read(){ ll x = 0; int zf = 1; char ch; while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar(); if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar(); while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;}
void write(ll y) { if (y < 0) putchar('-'), y = -y; if (y > 9) write(y / 10); putchar(y % 10 + '0');}

int f[N][K][4];
int main() {
    freopen("optimization.in", "r", stdin);
    freopen("optimization.out", "w", stdout);
	int n = read(), k = read();
	rep(i, 1, k) rep(j, 0, 3) f[0][i][j] = -INF;
	rep(i, 1, n) {   
		int x = read();
		rep(j, 1, k) {             
			int flag = 2 - (j == 1 || j == k);
			f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j - 1][3]) - flag * x;//low 
			f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i][j][0]);//

			f[i][j][2] = max(f[i - 1][j][2], f[i - 1][j - 1][1]) + flag * x;//high
			f[i][j][3] = max(f[i - 1][j][3], f[i][j][2]);
			if (flag - 1) {
				f[i][j][1] = max(f[i][j][1], f[i - 1][j - 1][1]);
				f[i][j][3] = max(f[i][j][3], f[i - 1][j - 1][3]);
			}
		}
	}
	printf("%d
", max(f[n][k][1], f[n][k][3]));
}