P3037 [USACO11DEC]简化的农场Simplifying the Farm

$[USACO11DEC]简化的农场Simplifying the Farm$

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$mathcal{Description}$
农夫约翰在一所夜校学习算法课程，他刚刚学会了最小生成树。现在约翰意识到他的农场设计得不够高效，他想简化农场的布局。

约翰的农场可以看做一个图，农田代表图中顶点，田间小路代表图中的边，每条边有一定的长度。约翰注意到，农场中最多有三条小路有着相同的长度。约翰想删除一些小路使得农场成为一棵树，使得两块农田间只有一条路径。但是约翰想把农场设计成最小生成树，也就是农场道路的总长度最短。

请帮助约翰找出最小生成树的总长度，同时请计算出总共有多少种最小生成树？

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$mathcal{Solution}$

$最初想法$

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$正解部分$
按照 $Kruskal$ 构造最小生成树,
由于题目中给出 $"最多有三条小路有着相同的长度"$ 的条件,
所以遇到 不同 的边有 相同 的边权时, 列举出所有加边时的情况进行分析 $↓$
第一张图为 $2$ 条边边权相同的情况, 第二张图为 $3$ 条.

$上图中 I.情况有2种选择,其余皆无选择余地.$

$上图中只有III, VI , IV, VII, 三个情况有选择余地, \ III有 2 种选择, \ VI有 3 中选择, \ IV有3种选择,\ VII有2种选择.$

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$实现部分$
在 $Kruskal$ 最小生成树算法加新的边时,
使用 $set$ 辅助判断 碳碳双键,碳碳三键 等价的边 和 环,

用 $set$ 维护参考了上方的题解.

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$mathcal{Code}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;

int N;
int M;
int F[maxn];

int Find(int x){ return F[x]==x?x:F[x]=Find(F[x]); }

struct Edge{ int u, v, w; } E[maxn];
bool cmp(Edge a, Edge b){ return a.w < b.w; }

int main(){
        freopen("a.in", "r", stdin);
        freopen("a.out", "w", stdout);
        scanf("%d%d", &N, &M);
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++) scanf("%d%d%d", &E[i].u, &E[i].v, &E[i].w);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) F[i] = i;
        std::sort(E+1, E+M+1, cmp);
        int Ans_1 = 0, Ans_2 = 1;
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                typedef std::pair <int, int> pr;
                std::set <pr> S;
                int t, x = 0, y = 0;
                for(t = i; t <= M; t ++){
                        if(E[t].w != E[i].w) break ;
                        int a = E[t].u, b = E[t].v;
                        S.insert(pr(std::min(a, b), std::max(a, b)));
                }
                x = t - i; t --;
                for(; i <= t; i ++){
                        int a = Find(E[i].u), b = Find(E[i].v);
                        if(a != b) F[b] = a, y ++, Ans_1 = (1ll*Ans_1 + E[i].w) % mod;
                }
                i --;
                if(x == 2 && y == 1) Ans_2 = 2ll*Ans_2 % mod;
                else if(x == 3){
                        if(y == 1) Ans_2 = 3ll*Ans_2 % mod;
                        else if(y == 2) Ans_2 = 2ll*Ans_2 % mod;
                }
        }
        printf("%d %d
", Ans_1, Ans_2);
        return 0;
}