"开车旅行"(不是NOIP) [最短路+思维]

$开车旅行$

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$color{blue}{最初想法}$

跑一次 $Floyed$, 把加油站独自提出来建一棵树, 跑最小瓶颈路, 时间复杂度 $O(N^3)$ .

实际上 上方的 $Floyed$ 可以换成 $N$ 次 $Dijstra$ 的, 时间复杂度 $O(N^2)$ .

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$color{red}{正解部分}$

与上方差不多的思路, 只不过优化了 建树过程 .

$先说做法 :$
跑 $Dijstra$ 时, 将所有加油站作为起点, 同时推入 优先队列, 跑最短路, 可以以 $O(NlogN)$ 的复杂度得到 普通点离得最近的加油站编号 .

然后可以遍历每条边, 若两个端点离得最近的加油站不同, 则在两个加油站之间连一条经过两个端点的路径 .

最后求出最小生成树, 其余同上 .

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$为什么这样做 ?$

考虑从加油站 $x$ 出发可行的路线, 肯定是走最短路径到达另一个加油站 $y$ .

若 $x$ 到 $y$ 路径上存在一条边 $(u, v, w)$ 满足距离 $u$ 最近的加油站为 $x$ 且距离 $v$ 最近的加油站为 $y$, 那么我们会将 $(x, y, dist(x, y))$ 加入生成树 .

否则可以证明 $x$ 到 $y$ 的路径不可能在最小生成树中出现:

1. 找到一条边 $(u, v, w)$, 设距离 $u$ 最近的加油站为 $a$, 距离 $v$ 最近的加油站为 $b$, $u$距离 $x$ 近,$v$ 距离 $y$ 近 .

2. 由条件可得 $dist(a, u) le dist(x, u)$, $dist(b, v) le dist(y, v)$.

3. 因为
   $dist(a, b) = dist(a, u) + dist(v, b) + w \ le dist(x, b) =dist(x, u)+dist(v, b)+w$
   $dist(a, y) = dist(a, u)+dist(v, y)+w \ le dits(x, y) = dist(x, u)+dist(v, y)+w$

4. 所以从 $x$ 到 $y$ 不会 比
   从 $x$ 到 $b$ 再 从$b$ 到 $a$ 最后从 $a$ 到 $y$ 更优 .

以上证明来自 wjz 的 ppt

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$color{red}{实现部分}$

略 .