Or三元组 [计数问题]

$Or三元组$

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$color{red}{正解部分}$

$"前言":$ 若处理出 $sum[i, j]$ 表示前 $i$ 个数字 $j$ 出现的次数,
预处理时空复杂度为 $O(N*255)$, 单次查询时间复杂度$O(255*255)$, 显然不能过.

记录 $sum[i, j]$ 为前 $i$ 个数 $or j = j$ 的数字数量,
设 $cnt_x = sum[r, x] - sum[l-1, x]$, 则 $cnt_x$ 个数中$3$个 或 起来并不一定等于 $x$, 可能小于 $x$,
考虑怎么 得到或起来等于 $x$ 的三元组 个数, 可以使用 容斥,
$Ans = C_{cnt_x}^3 -C_{cnt_{a_1}}^3-C_{cnt_{a_2}}^3 dotsi+dotsi-dotsidotsi$

在 $or x=x$ 的数中 与 $x$ 二进制相差奇数个 $1$ 的数 容斥系数为 $-1$, 否则为 $1$.

由于每次容斥最多调用 $255$ 个数字, 所以单次查询复杂度为 $O(255)$ .

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$color{red}{实现部分}$

注意不能写成下面这个代码, 因为这样会计算重复 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 1e5 + 5;

int N;
int M;
int Ans;
int A[maxn];
int pw[20];
int sum[maxn][257];

void DFS(int opt, int x, int r, int l){
        int cur_cnt = sum[r][x] - sum[l-1][x];
        if(opt & 1) Ans += (cur_cnt>=3)*cur_cnt*(cur_cnt-1)*(cur_cnt-2)/6;
        else Ans -= (cur_cnt>=3)*cur_cnt*(cur_cnt-1)*(cur_cnt-2)/6;
        for(reg int i = 0; pw[i] <= x; i ++)
                if(pw[i] & x) DFS(opt^1, x^pw[i], r, l);
}

int main(){
        scanf("%d%d", &N, &M);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%d", &A[i]); 
        pw[0] = 1;
        for(reg int i = 1; i <= 10; i ++) pw[i] = pw[i-1] << 1;
        for(reg int j = 1; j <= 255; j ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++) sum[i][j] = sum[i-1][j] + ((A[i]|j) == j);
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                int l, r, x;
                scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
                Ans = 0;
                DFS(1, x, r, l);
                printf("%d
", Ans);
        }
        return 0;
}

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这个是对的 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;

int N;
int M;
int cnt_1;
int A[maxn];
int pw[20];
int tmp_1[20];
int sum[maxn][257];

ll Ans;

void DFS(int opt, int x, int cur, int r, int l){
	if(x == cnt_1 + 1){
	     int cur_cnt = sum[r][cur] - sum[l-1][cur];
	     if(opt & 1) Ans += 1ll*(cur_cnt>=3)*cur_cnt*(cur_cnt-1)*(cur_cnt-2)/6;
	     else Ans -= 1ll*(cur_cnt>=3)*cur_cnt*(cur_cnt-1)*(cur_cnt-2)/6;
	     return ;
	}
        DFS(opt, x + 1, cur, r, l);
        DFS(opt^1, x + 1, cur^tmp_1[x], r, l);
}

int main(){
        freopen("Or.in", "r", stdin);
        freopen("Or.out", "w", stdout);
        scanf("%d%d", &N, &M);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%d", &A[i]); 
        pw[0] = 1;
        for(reg int i = 1; i <= 10; i ++) pw[i] = pw[i-1] << 1;
        for(reg int j = 1; j <= 255; j ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++) sum[i][j] = sum[i-1][j] + ((A[i]|j) == j);
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                int l, r, x;
                scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
                Ans = 0;
                cnt_1 = 0;
                for(reg int j = 0; j <= 10; j ++)
                	if(pw[j] & x) tmp_1[++ cnt_1] = pw[j];
                DFS(1, 1, x, r, l);
                printf("%lld
", Ans);
        }
        return 0;
}