求 个结点的随机生成森林的 期望最高树高 .
设 表示高度为 , 使用 个球, 个球在顶部的概率,
时间复杂度 , 没有 出 , 暴力保底 .
起初只有一个根, 每次随机一个点加一个儿子, 求出最后形成的 个节点的树的期望高度 .
说实话刚开始我觉得很迷 .
- 表示 个点的森林, 有 个点在第一颗子树的概率 .
- 表示有 个节点的树, 深度不超过 的概率 .
- 表示有 个节点的森林, 深度不超过 的概率 .
很好转移:
然后是 的转移:
意为在有 个点的森林基础上生成一颗 个点的树, 然后再取出其中满足条件的树 .
将若干深度不超过 的树组成的森林 连上同一个根, 组成一个深度不超过 的树, 即 .
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
int read(){
char c;
int s = 0, flag = 1;
while((c=getchar()) && !isdigit(c))
if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
return s * flag;
}
typedef long long ll;
const int maxn = 305;
int N;
int mod;
int inv[maxn];
int F[maxn][maxn];
int g[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];
int main(){
N = read(), mod = read();
inv[1] = 1;
for(reg int i = 2; i <= N; i ++) inv[i] = (((-1ll*mod/i*inv[mod%i])%mod)+mod)%mod;
F[1][1] = 1;
for(reg int i = 2; i <= N; i ++)
for(reg int j = 1; j <= i; j ++){
int &t = F[i][j];
t = 1ll*F[i-1][j-1]*(j-1)%mod*inv[i]%mod;
t = (1ll*t + (1ll*F[i-1][j]*(i-j)%mod*inv[i]%mod)) % mod;
}
for(reg int i = 0; i <= N; i ++) g[0][i] = 1;
for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
for(reg int j = 0; j <= N; j ++){
f[i][j] = j?g[i-1][j-1]:(i<=1);
int &t = g[i][j];
for(reg int k = 1; k <= i; k ++)
t = (1ll*t + 1ll*f[k][j]*g[i-k][j]%mod*F[i][k]%mod)%mod;
}
int Ans = 0;
for(reg int i = 1; i < N; i ++)
Ans = (1ll*Ans + ((1ll*f[N][i]%mod - f[N][i-1]%mod)*i%mod)) % mod;
Ans = (1ll*Ans%mod + mod) % mod;
printf("%d
", Ans);
return 0;
}