• 玩具 [奇妙树形dp/计数]


    玩具


    NN 个结点的随机生成森林的 期望最高树高 .


    color{blue}{最初想法}

    F[i,j,k]F[i, j, k] 表示高度为 ii, 使用 jj 个球, kk 个球在顶部的概率,

    F[i,j,k]=F[i,j1,k]j3j1+F[i,j1,k1]1j1+F[i1,j1,p]1j1F[i, j, k] = F[i, j-1, k]* frac{j-3}{j-1} + F[i, j-1, k-1]*frac{1}{j-1}+F[i-1, j-1, p]*frac{1}{j-1}

    时间复杂度 O(N4)O(N^4), 没有 DeDebugbug, 暴力保底 30pts30pts .


    color{red}{正解部分}

    :题意: 起初只有一个根, 每次随机一个点加一个儿子, 求出最后形成的 NN 个节点的树的期望高度 .

    沿这里沿用原题解的几个定义 downarrow
    说实话刚开始我觉得很迷 .

    • F[i,j]F[i, j] 表示 ii 个点的森林, 有 jj 个点在第一颗子树的概率 .
    • f[i,j]f[i, j] 表示有 ii 个节点的树, 深度不超过 jj 的概率 .
    • g[i,j]g[i, j] 表示有 ii 个节点的森林, 深度不超过 jj 的概率 .

    F[i,j]F[i, j] 很好转移:
    F[i,j]=F[i1,j1]j1i+F[i1,j]ijiF[i, j] = F[i-1, j-1]*frac{j-1}{i} + F[i-1, j]*frac{i-j}{i}

    然后是 g[i,j]g[i, j] 的转移:
    g[i,j]=k=1iF[i,k]f[k,j]g[ik,j]g[i,j]=sum_{k=1}^i F[i, k]*f[k, j] * g[i-k, j]

    意为在有 iki-k 个点的森林基础上生成一颗 jj 个点的树, 然后再取出其中满足条件的树 .

    将若干深度不超过 j1j-1 的树组成的森林 连上同一个根, 组成一个深度不超过 jj 的树, 即 f[i,j]=g[i1,j1]f[i, j] = g[i-1, j-1] .


    color{red}{实现部分}

    #include<bits/stdc++.h>
    #define reg register
    
    int read(){
            char c;
            int s = 0, flag = 1;
            while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                    if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
            while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
            return s * flag;
    }
    
    typedef long long ll;
    const int maxn = 305;
    
    int N;
    int mod;
    int inv[maxn];
    int F[maxn][maxn];
    int g[maxn][maxn];
    int f[maxn][maxn];
    
    int main(){
            N = read(), mod = read();
            inv[1] = 1;
            for(reg int i = 2; i <= N; i ++) inv[i] = (((-1ll*mod/i*inv[mod%i])%mod)+mod)%mod;
            F[1][1] = 1;
            for(reg int i = 2; i <= N; i ++)
                    for(reg int j = 1; j <= i; j ++){
                            int &t = F[i][j];
                            t = 1ll*F[i-1][j-1]*(j-1)%mod*inv[i]%mod;
                            t = (1ll*t + (1ll*F[i-1][j]*(i-j)%mod*inv[i]%mod)) % mod;
                    }
            for(reg int i = 0; i <= N; i ++) g[0][i] = 1;
            for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                    for(reg int j = 0; j <= N; j ++){
                            f[i][j] = j?g[i-1][j-1]:(i<=1);
                            int &t = g[i][j];
                            for(reg int k = 1; k <= i; k ++)
                                    t = (1ll*t + 1ll*f[k][j]*g[i-k][j]%mod*F[i][k]%mod)%mod;
                    }
            int Ans = 0;
            for(reg int i = 1; i < N; i ++)
                    Ans = (1ll*Ans + ((1ll*f[N][i]%mod - f[N][i-1]%mod)*i%mod)) % mod;
            Ans = (1ll*Ans%mod + mod) % mod;
            printf("%d
    ", Ans);
            return 0;
    }
    
    
    
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