BZOJ1800 fly 飞行棋 [几何]

$fly 飞行棋$

给出圆周上的若干个点，已知点与点之间的弧长，其值均为正整数，并依圆周顺序排列。 请找出这些点中有没有可以围成矩形的，并希望在最短时间内找出所有不重复矩形。

$N le 25$ .

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$color{blue}{最初想法}$

发现数据范围很小, 首先就想到 $O(N^2)$ 枚举端点, 然后检查关于直径对称的对应端点是否存在,
但是发现这样去作关于直径对称的线段很麻烦, 作罢 .

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$color{red}{正解部分}$

矩形的四个角都为直角, 而直角所对弦长为直径, 直径所对弧长为周长的一半,
所以满足条件的矩形的对角线就对应直径, 于是考虑 枚举 对角线, 使用对角线去 $"拼"$ 矩形 .
于是枚举 $i, j$ 两个端点, 判断其距离 $t$ 是否满足 $t = frac{d}{2}$, 若满足, 则说明发现了一条新的对角线. $(d为周长)$

最后得到对角线的个数为 $cnt$ 个, 取出其中 $2$ 个构成一个矩形, 则答案为 $C_{cnt}^2=frac{1}{2}cnt(cnt-1)$ .

时间复杂度 $O(N^2)$ .

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$color{red}{实现部分}$

• 注意圆的周长可能是奇数 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 25;

int N;
int d;
int cnt;
int A[maxn];

int main(){
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%d", &A[i]), d += A[i], A[i] += A[i-1];
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                for(reg int j = i+1; j <= N; j ++)
                        if((abs(A[i]-A[j])<<1) == d) cnt ++;
        printf("%d
", cnt*(cnt-1)>>1);
        return 0;
}