回炉重造12时辰-代码效率优化方法论（二）
----将昂贵的时间复杂度转化为廉价的空间复杂度
时间昂贵、空间廉价
一段代码会消耗计算时间、资源空间，从而产生时间复杂度和空间复杂度，那么你是否尝试过将时间复杂度和空间复杂进行下对比呢？其实对比过后，你就会发现一个重要的现象。
假设一段代码经过优化后，虽然降低了时间复杂度，但依然需要消耗非常高的空间复杂度。 例如，对于固定数据量的输入，这段代码需要消耗几十 G 的内存空间，很显然普通计算机根本无法完成这样的计算。如果一定要解决的话，一个最简单粗暴的办法就是，购买大量的高性能计算机，来弥补空间性能的不足。
反过来，假设一段代码经过优化后，依然需要消耗非常高的时间复杂度。 例如，对于固定数据量的输入，这段代码需要消耗 1 年的时间去完成计算。如果在跑程序的 1 年时间内，出现了断电、断网或者程序抛出异常等预期范围之外的问题，那很可能造成 1 年时间浪费的惨重后果。很显然，用 1 年的时间去跑一段代码，对开发者和运维者而言都是极不友好的。
这告诉我们一个什么样的现实问题呢？代码效率的瓶颈可能发生在时间或者空间两个方面。如果是缺少计算空间，花钱买服务器就可以了。这是个花钱就能解决的问题。相反，如果是缺少计算时间，只能投入宝贵的人生去跑程序。即使你有再多的钱、再多的服务器，也是毫无用处。相比于空间复杂度，时间复杂度的降低就显得更加重要了。因此，你会发现这样的结论：空间是廉价的，而时间是昂贵的。
数据结构连接时空
假定在不限制时间、也不限制空间的情况下，你可以完成某个任务的代码的开发。这就是通常我们所说的暴力解法，更是程序优化的起点。
例如，如果要在 100 以内的正整数中，找到同时满足以下两个条件的最小数字：
（1）能被 3 整除；
（2）除 5 余 2。
最暴力的解法就是，从 1 开始到 100，每个数字都做一次判断。如果这个数字满足了上述两个条件，则返回结果。这是一种不计较任何时间复杂度或空间复杂度的、最直观的暴力解法。
当你有了最暴力的解法后，就需要用上一讲的方法评估当前暴力解法的复杂度了。如果复杂度比较低或者可以接受，那自然万事大吉。可如果暴力解法复杂度比较高的话，那就要考虑采用程序优化的方法去降低复杂度了。
为了降低复杂度，一个直观的思路是：梳理程序，看其流程中是否有无效的计算或者无效的存储。
我们需要从时间复杂度和空间复杂度两个维度来考虑。常用的降低时间复杂度的方法有递归、二分法、排序算法、动态规划等。而降低空间复杂度的方法，就要围绕数据结构做文章了。
降低空间复杂度的核心思路就是，能用低复杂度的数据结构能解决问题，就千万不要用高复杂度的数据结构。
经过了前面剔除无效计算和存储的处理之后，如果程序在时间和空间等方面的性能依然还有瓶颈，又该怎么办呢？前面我们提到过，空间是廉价的，最不济也是可以通过购买更高性能的计算机进行解决的。然而时间是昂贵的，如果无法降低时间复杂度，那系统的效率就永远无法得到提高。
这时候，开发者们想到这样的一个解决思路。如果可以通过某种方式，把时间复杂度转移到空间复杂度的话，就可以把无价的东西变成有价了。在程序开发中，这种时空转移的思想也是可以使用的，而连接时间和空间的桥梁就是数据结构。对于一个开发任务，如果你能找到一种高效的数据组织方式，采用合理的数据结构的话，那就可以实现时间复杂度的再次降低。同样的，这通常会增加数据的存储量，也就是增加了空间复杂度。
以上就是程序优化的最核心的思路，也是这个专栏的整体框架。我们简单梳理如下：
第一步，暴力解法。在没有任何时间、空间约束下，完成代码任务的开发。
第二步，无效操作处理。将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度。
第三步，时空转换。设计合理数据结构，完成时间复杂度向空间复杂度的转移
降低复杂度的案例
有了如上的方法论，我们给出一个例子，帮助你加深理解。
第 1 个例子，假设有任意多张面额为 2 元、3 元、7 元的货币，现要用它们凑出 100 元，求总共有多少种可能性。假设工程师小明写了下面的代码：
public void testOne_1() { int count = 0; for (int i = 0; i <= (100 / 7); i++) { for (int j = 0; j <= (100 / 3); j++) { for (int k = 0; k <= (100 / 2); k++) { if (i * 7 + j * 3 + k * 2 == 100) { count += 1; } } } } System.out.println(count); }
在这段代码中，使用了 3 层的 for 循环。从结构上来看，是很显然的 O( n³ ) 的时间复杂度。然而，仔细观察就会发现，代码中最内层的 for 循环是多余的。因为，当你确定了要用 i 张 7 元和 j 张 3 元时，只需要判断用有限个 2 元能否凑出 100 - 7* i - 3* j 元就可以了。因此，代码改写如下：
public void testOne_2() { int count = 0; for (int i = 0; i <= (100 / 7); i++) { for (int j = 0; j <= (100 / 3); j++) { if ((100-i*7-j*3 >= 0)&&((100-i*7-j*3) % 2 == 0)) { count += 1; } } } System.out.println(count); }
经过改造后，代码的结构由 3 层 for 循环，变成了 2 层 for 循环。很显然，时间复杂度就变成了O(n²) 。这样的代码改造，就是利用了方法论中的步骤二，将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度。
再看第二个例子。查找出一个数组中，出现次数最多的那个元素的数值。例如，输入数组 a = [1,2,3,4,5,5,6 ] 中，查找出现次数最多的数值。从数组中可以看出，只有 5 出现了 2 次，其余都是 1 次。显然 5 出现的次数最多，则输出 5。
工程师小明的解决方法是，采用两层的 for 循环完成计算。第一层循环，对数组每个元素遍历。第二层循环，则是对第一层遍历的数字，去遍历计算其出现的次数。这样，全局再同时缓存一个出现次数最多的元素及其次数就可以了。具体代码如下：
public void testTwo_1() { int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6 }; int val_max = -1; int time_max = 0; int time_tmp = 0; for (int i = 0; i < a.length; i++) { time_tmp = 0; for (int j = 0; j < a.length; j++) { if (a[i] == a[j]) { time_tmp += 1; } if (time_tmp > time_max) { time_max = time_tmp; val_max = a[i]; } } } System.out.println(val_max); }
在这段代码中，小明采用了两层的 for 循环，很显然时间复杂度就是 O(n²)。而且代码中，几乎没有冗余的无效计算。如果还需要再去优化，就要考虑采用一些数据结构方面的手段，来把时间复杂度转移到空间复杂度了。
我们先想象一下，这个问题能否通过一次 for 循环就找到答案呢？一个直观的想法是，一次循环的过程中，我们同步记录下每个元素出现的次数。最后，再通过查找次数最大的元素，就得到了结果。
具体而言，定义一个 k-v 结构的字典，用来存放元素-出现次数的 k-v 关系。那么首先通过一次循环，将数组转变为元素-出现次数的一个字典。接下来，再去遍历一遍这个字典，找到出现次数最多的那个元素，就能找到最后的结果了。
具体代码如下：
public void testTwo_2() { int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6 }; Map<Integer, Integer> d = new HashMap<>(); for (int i = 0; i < a.length; i++) { if (d.containsKey(a[i])) { d.put(a[i], d.get(a[i]) + 1); } else { d.put(a[i], 1); } } int val_max = -1; int time_max = 0; for (Integer key : d.keySet()) { if (d.get(key) > time_max) { time_max = d.get(key); val_max = key; } } System.out.println(val_max); }
我们来计算下这种方法的时空复杂度。代码结构上，有两个 for 循环。不过，这两个循环不是嵌套关系，而是顺序执行关系。其中，第一个循环实现了数组转字典的过程，也就是 O(n) 的复杂度。第二个循环再次遍历字典找到出现次数最多的那个元素，也是一个 O(n) 的时间复杂度。
因此，总体的时间复杂度为 O(n) + O(n)，就是 O(2n)，根据复杂度与具体的常系数无关的原则，也就是O(n) 的复杂度。空间方面，由于定义了 k-v 字典，其字典元素的个数取决于输入数组元素的个数。因此，空间复杂度增加为 O(n)。
这段代码的开发，就是借鉴了方法论中的步骤三，通过采用更复杂、高效的数据结构，完成了时空转移，提高了空间复杂度，让时间复杂度再次降低。
文章知识点来源于自购课程《重学数据结构与算法》，在这里做一个简单的整理总结分析分享给大家。
敬请期待接下来会更新的博客--《回炉重造12时辰-数据处理不变应万变》。
我是帝莘，希望能在博客园和你进行技术交流和思想交流！