欧拉函数定义-性质-应用（费马小定理）

典型例题：51nod  1135  原根

 

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

给出1个质数P，找出P最小的原根。

 

Input

输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)

 

Output

输出P最小的原根。

 

Input示例

3

 

Output示例

2





欧拉公式：
含义：欧拉函数就是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)

   通式：

   其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数

   φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）

   注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

性质① m是素数时，有φ(m)=m-1
性质② 当m、n互素时，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)
性质③ 对一切正整数n，有φ(p^n)=[p^(n-1)]*(p-1)

   欧拉函数性质（持续更新）：

   若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

   φ（n）是积性函数，当gcd（n，m）==1时，φ（nm）=φ（n）*φ（m）

   ①N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*M*eular(N)。

   ②若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

   ③若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

 费马小定理(Fermat's little theorem) 是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

还有些定理：http://blog.csdn.net/yxuanwkeith/article/details/52387873

 

 

 

题目：

给定阶的含义为：设a模m的阶为k，则k满足a^k%m==1，且k最小

题解：

因为这题的p为质数，所以φ(p)=p-1，那么这题就是要找到最小的a使得a^(p-1)%p==1，且对于所有的k∈[0,p-1)都

不满足a^k%p等于1，（根据费马小定理，对于所有的正整数a，a^(p-1)%p==1一定成立）

方法就是枚举a，对于每一个a判断是否满足条件，可k的范围特别的大，枚举k不实际，那怎么办？其实我们只需要

枚举p-1的因数即可，只要p-1的所有因数都满足其不是a的阶，p-1即是a的阶

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8883285（大佬的题解）

 

大佬级解密--->欧拉

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 http://www.cnblogs.com/yefeng1627/archive/2013/01/02/2842492.html

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 ll;

int a[111];

int pow_mod(int x, int n, int mod) {
    int ret = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)   ret = (ll)ret*x%mod;
        x = (ll)x*x%mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != -1){
        int tmp = n-1, tot = 0;
        for(int i = 2;i*i <= tmp ;i++) if(tmp % i == 0) {
            a[tot++] = i;
            while(tmp % i == 0) tmp /= i;
        }
        if(tmp > 1) a[tot++] = tmp;
        tmp = n-1;
        for(int i = 2;i < n; i++) {
            bool flag = 1;
            for(int j = 0;j < tot; j++) {
                if(pow_mod(i, tmp/a[j], n) == 1) {
                    flag = 0; break;
                }
            }
            if(flag) {
                printf("%d
", i); break;
            }
        }
    }
    return 0;
}